Se f é uma função par e g é uma função ímpar, então a função produto dada por
(f g)(x)=f(x) g(x)
é ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem duas funções: que é par e que é ímpar. A pergunta quer saber se o produto dessas duas funções, ou seja, , também é uma função ímpar. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa uma função ser par ou ímpar e aplicar essas definições na função produto.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular as definições:
  • Função Par: Uma função f(-x) = f(x) é par se, para todo g(-x) = -g(x) no domínio dela, . Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo .
  • Função Ímpar: Uma função é ímpar se, para todo no domínio dela, . Isso indica que o gráfico da função tem simetria central em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas definições na função produto (f cdot g)(-x) = - (f cdot g)(x) . Queremos mostrar que essa função é ímpar, ou seja, verificar se:

Passo 4

Vamos calcular (f cdot g)(-x) = f(-x) cdot g(-x) :
f(-x) = f(x) e g(-x) = -g(x)
Sabemos que (f cdot g)(-x) = f(x) cdot (-g(x)) = -f(x) cdot g(x) é par e é ímpar, então podemos substituir:
Substituindo na expressão:

Passo 5

Agora, vamos comparar com - (f cdot g)(x) = - (f(x) cdot g(x)) = -f(x) cdot g(x) :
(f cdot g)(-x) = - (f cdot g)(x)
Observamos que:
Isso confirma que a função produto satisfaz a definição de uma função ímpar.

Resposta

Portanto, a função produto é ímpar.

Exercícios relacionados