Para cada um dos itens abaixo, determine se o vetor v pertence a [v1, v2, v3] (isto é, ao subespaço gerado por v1, v2 e v3), onde v1=(1,0,0,1), v2=(1,-1,0,0), v3=(0,1,2,1)
© v=(1,2,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o vetor v = (1, 2, 0, 1) está no subespaço gerado pelos vetores v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (1, -1, 0, 0) e v3 = (0, 1, 2, 1). Isso envolve conceitos de espaços vetoriais e combinações lineares. Para resolver, vamos ver se conseguimos achar números (coeficientes) a, b e c tais que:
v = av1 + bv2 + cv3
Isso significa que precisamos resolver um sistema de equações para encontrar esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear explicitamente. Substituindo os vetores dados:
(1, 2, 0, 1) = a(1, 0, 0, 1) + b(1, -1, 0, 0) + c(0, 1, 2, 1)
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
(1, 2, 0, 1) = (a + b, -b + c, 2c, a + c)

Passo 3

Com isso, podemos dividir isso em um sistema de equações olhando componente por componente:
  1. a + b = 1 (componente 1)
  2. -b + c = 2 (componente 2)
  3. 2c = 0 (componente 3)
  4. a + c = 1 (componente 4)
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 4

Começando pela equação 3:
2c = 0 implies c = 0
Agora que já sabemos que c = 0, podemos substituir isso nas outras equações.

Passo 5

Substituindo c = 0 na equação 2:
-b + 0 = 2 implies -b = 2 implies b = -2
Agora sabemos que b = -2.

Passo 6

Com c = 0 e b = -2, vamos substituir na equação 1:
a + (-2) = 1 implies a - 2 = 1 implies a = 3
Agora, achamos que a = 3.

Passo 7

Para conferir, vamos substituir a = 3 e c = 0 na equação 4:
3 + 0 = 3 neq 1
Ops! Aqui temos um problema: 3 neq 1. Isso significa que não há uma solução que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo.

Resposta

Portanto, o vetor v = (1, 2, 0, 1) não pertence ao subespaço gerado por v1, v2 e v3.

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