Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o vetor está no subespaço gerado pelos vetores , e . Isso envolve conceitos de espaços vetoriais e combinações lineares. Para resolver, vamos ver se conseguimos achar números (coeficientes) , e tais que:
Isso significa que precisamos resolver um sistema de equações para encontrar esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a combinação linear explicitamente. Substituindo os vetores dados:
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Passo 3
Com isso, podemos dividir isso em um sistema de equações olhando componente por componente:
(componente 1)
(componente 2)
(componente 3)
(componente 4)
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 4
Começando pela equação 3:
Agora que já sabemos que , podemos substituir isso nas outras equações.
Passo 5
Substituindo na equação 2:
Agora sabemos que .
Passo 6
Com e , vamos substituir na equação 1:
Agora, achamos que .
Passo 7
Para conferir, vamos substituir e na equação 4:
Ops! Aqui temos um problema: . Isso significa que não há uma solução que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo.
Resposta
Portanto, o vetor não pertence ao subespaço gerado por , e .