Para cada um dos itens abaixo, determine se o vetor
pertence a
(isto é, ao subespaço gerado por
e
, onde
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o vetor
está no subespaço gerado pelos vetores
,
e
. Isso envolve conceitos de espaços vetoriais e combinações lineares. Para resolver, vamos ver se conseguimos achar números (coeficientes)
,
e
tais que:
Isso significa que precisamos resolver um sistema de equações para encontrar esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a combinação linear explicitamente. Substituindo os vetores dados:
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Passo 3
Com isso, podemos dividir isso em um sistema de equações olhando componente por componente:
-
(componente 1) -
(componente 2) -
(componente 3) -
(componente 4)
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 4
Começando pela equação 3:
Agora que já sabemos que
, podemos substituir isso nas outras equações.
Passo 5
Substituindo
na equação 2:
Agora sabemos que
.
Passo 6
Com
e
, vamos substituir na equação 1:
Agora, achamos que
.
Passo 7
Para conferir, vamos substituir
e
na equação 4:
Ops! Aqui temos um problema:
. Isso significa que não há uma solução que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo.
Resposta
Portanto, o vetor
não pertence ao subespaço gerado por
,
e
.