Para cada um dos itens abaixo, determine se o vetor pertence a (isto é, ao subespaço gerado por e , onde
© .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o vetor está no subespaço gerado pelos vetores , e . Isso envolve conceitos de espaços vetoriais e combinações lineares. Para resolver, vamos ver se conseguimos achar números (coeficientes) , e tais que:
Isso significa que precisamos resolver um sistema de equações para encontrar esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear explicitamente. Substituindo os vetores dados:
Agora, vamos distribuir os coeficientes:

Passo 3

Com isso, podemos dividir isso em um sistema de equações olhando componente por componente:
  1. (componente 1)
  2. (componente 2)
  3. (componente 3)
  4. (componente 4)
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 4

Começando pela equação 3:
Agora que já sabemos que , podemos substituir isso nas outras equações.

Passo 5

Substituindo na equação 2:
Agora sabemos que .

Passo 6

Com e , vamos substituir na equação 1:
Agora, achamos que .

Passo 7

Para conferir, vamos substituir e na equação 4:
Ops! Aqui temos um problema: . Isso significa que não há uma solução que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo.

Resposta

Portanto, o vetor não pertence ao subespaço gerado por , e .

Exercícios relacionados

Dados e , mostre que:
(b) Se e , então (Sugestão: Se existe um natural tal que . Faça então indução sobre ).
Mostre que os vetores e formam uma base de e calcule o vetor coordenada de na base .
Se , onde . Ache:
Se , onde . Ache: