Dados a, b in N e n, m in N^*, mostre que:
(b) Se a>1 e m>n, então a^m>a^n (Sugestão: Se m>n existe um natural k in N^* tal que m=n+k. Faça então indução sobre k ).

Passo 1

Então, a gente tem números naturais e que também são naturais, mas e são positivos. A pergunta quer que a gente mostre que se e , então . Vamos usar o conceito de indução matemática para provar isso, especialmente pensando que se , dá pra escrever onde é um número natural positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é quantas unidades a mais tem em relação a . Por exemplo, se e , então porque .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a^m = a^n + k usando a^n + k = a^n cdot a^k :
Pela propriedade das potências, sabemos que:
Então, queremos provar que .

Passo 4

Como e (porque é um natural positivo), sabemos que . Isso acontece porque qualquer número maior que 1 elevado a uma potência positiva vai ser maior que 1.

Passo 5

Agora, multiplicando a^n cdot a^k > a^n cdot 1 por a^n + k > a^n , temos:
Ou seja, .

Resposta

Portanto, mostramos que se e , então .

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