Dados
e
, mostre que:
(b) Se
e
, então
(Sugestão: Se
existe um natural
tal que
. Faça então indução sobre
).
(b) Se
Passo 1
Então, a gente tem números naturais
e
que também são naturais, mas
e
são positivos. A pergunta quer que a gente mostre que se
e
, então
. Vamos usar o conceito de indução matemática para provar isso, especialmente pensando que se
, dá pra escrever
onde
é um número natural positivo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é quantas unidades a mais
tem em relação a
. Por exemplo, se
e
, então
porque
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever
usando
:
Pela propriedade das potências, sabemos que:
Então, queremos provar que
.
Passo 4
Como
e
(porque
é um natural positivo), sabemos que
. Isso acontece porque qualquer número maior que 1 elevado a uma potência positiva vai ser maior que 1.
Passo 5
Agora, multiplicando
por
, temos:
Ou seja,
.
Resposta
Portanto, mostramos que se
e
, então
.