Dados e , mostre que:
(b) Se e , então (Sugestão: Se existe um natural tal que . Faça então indução sobre ).

Passo 1

Então, a gente tem números naturais e que também são naturais, mas e são positivos. A pergunta quer que a gente mostre que se e , então . Vamos usar o conceito de indução matemática para provar isso, especialmente pensando que se , dá pra escrever onde é um número natural positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é quantas unidades a mais tem em relação a . Por exemplo, se e , então porque .

Passo 3

Agora, vamos reescrever usando :
Pela propriedade das potências, sabemos que:
Então, queremos provar que .

Passo 4

Como e (porque é um natural positivo), sabemos que . Isso acontece porque qualquer número maior que 1 elevado a uma potência positiva vai ser maior que 1.

Passo 5

Agora, multiplicando por , temos:
Ou seja, .

Resposta

Portanto, mostramos que se e , então .

Exercícios relacionados

Mostre que os vetores e formam uma base de e calcule o vetor coordenada de na base .
Se é par, então é par.
Para cada um dos itens abaixo, determine se o vetor pertence a (isto é, ao subespaço gerado por e , onde
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Se , onde . Ache: