Mostre que os vetores e formam uma base de e calcule o vetor coordenada de na base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que três vetores polinomiais , e formam uma base do espaço (o conjunto de todos os polinômios de grau até 2). Além disso, precisamos calcular as coordenadas do vetor nessa base . Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, base e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Um conjunto de vetores forma uma base de um espaço vetorial se eles são linearmente independentes e geram todo o espaço. No caso de , que é um espaço de polinômios de grau até 2, a dimensão é 3. Então, precisamos verificar se nossos três vetores , e são linearmente independentes.
Passo 3
Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com os coeficientes dos vetores e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e, portanto, formam uma base.
Vamos organizar os vetores da seguinte forma, considerando os coeficientes de , e :
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .
Passo 5
Agora que sabemos que v = av1 + bv2 + cv3 é uma base de -2 - 9x - 13x^2 = a(1 + 2x - 3x^2) + b(1 - 3x + 2x^2) + c(2 - x + 5x^2) , vamos encontrar as coordenadas do vetor nessa base. Isso significa encontrar escalares , e tais que: