Mostre que os vetores e formam uma base de e calcule o vetor coordenada de na base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que três vetores polinomiais , e formam uma base do espaço (o conjunto de todos os polinômios de grau até 2). Além disso, precisamos calcular as coordenadas do vetor nessa base . Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, base e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Um conjunto de vetores forma uma base de um espaço vetorial se eles são linearmente independentes e geram todo o espaço. No caso de , que é um espaço de polinômios de grau até 2, a dimensão é 3. Então, precisamos verificar se nossos três vetores , e são linearmente independentes.
Passo 3
Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com os coeficientes dos vetores e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e, portanto, formam uma base.
Vamos organizar os vetores da seguinte forma, considerando os coeficientes de , e :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos fazer os cálculos passo a passo:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .
Passo 5
Agora que sabemos que é uma base de , vamos encontrar as coordenadas do vetor nessa base. Isso significa encontrar escalares , e tais que:
Substituindo os vetores:
Passo 6
Vamos expandir a equação:
Agora, igualamos os coeficientes correspondentes dos termos de , e :
Passo 7
Temos um sistema linear de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da eliminação ou substituição. Vou optar pela eliminação.
Primeiro, vamos multiplicar a equação (1) por 2 e subtrair da equação (2) para eliminar :
Passo 8
Agora, vamos multiplicar a equação (1) por 3 e somar com a equação (3) para eliminar :
Agora temos um sistema com duas equações:
Passo 9
Vamos resolver esse sistema. Da equação (4), temos:
Substituímos na equação (5):
Agora, usando :
Passo 10
Agora que temos e , substituímos na equação (1) para encontrar :