Mostre que os vetores v1=1+2 x-3 x^2, v2=1-3 x+2 x^2 e v3=2-x+5 x^2 formam uma base de V=P2 e calcule o vetor coordenada de v=-2-9 x-13 x^2 na base B=v1, v2, v3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que três vetores polinomiais , e formam uma base do espaço (o conjunto de todos os polinômios de grau até 2). Além disso, precisamos calcular as coordenadas do vetor nessa base . Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, base e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Um conjunto de vetores forma uma base de um espaço vetorial se eles são linearmente independentes e geram todo o espaço. No caso de , que é um espaço de polinômios de grau até 2, a dimensão é 3. Então, precisamos verificar se nossos três vetores , e são linearmente independentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com os coeficientes dos vetores e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e, portanto, formam uma base.
Vamos organizar os vetores da seguinte forma, considerando os coeficientes de 1 & 1 & 2 2 & -3 & -1 -3 & 2 & 5 , e :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det = 1 cdot (-3 cdot 5 - (-1) cdot 2) - 1 cdot (2 cdot 5 - (-1) cdot (-3)) + 2 cdot (2 cdot 2 - (-3) cdot (-3))
Vamos fazer os cálculos passo a passo:
det = 1 cdot (-15 - (-2)) - 1 cdot (10 - 3) + 2 cdot (4 - 9)
det = 1 cdot (-13) - 1 cdot 7 + 2 cdot (-5)
det = -13 - 7 - 10 = -30
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .

Passo 5

Agora que sabemos que v = av1 + bv2 + cv3 é uma base de -2 - 9x - 13x^2 = a(1 + 2x - 3x^2) + b(1 - 3x + 2x^2) + c(2 - x + 5x^2) , vamos encontrar as coordenadas do vetor nessa base. Isso significa encontrar escalares , e tais que:
Substituindo os vetores:

Passo 6

Vamos expandir a equação:
-2 - 9x - 13x^2 = (a + b + 2c) + (2a - 3b - c)x + (-3a + 2b + 5c)x^2
Agora, igualamos os coeficientes correspondentes dos termos de a + b + 2c = -2 2a - 3b - c = -9 -3a + 2b + 5c = -13 , e :

Passo 7

Temos um sistema linear de três equações com três incógnitas:
a + b + 2c = -2 (1) 2a - 3b - c = -9 (2) -3a + 2b + 5c = -13 (3)
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da eliminação ou substituição. Vou optar pela eliminação.
Primeiro, vamos multiplicar a equação (1) por 2 e subtrair da equação (2) para eliminar 2(a + b + 2c) = 2(-2) Rightarrow 2a + 2b + 4c = -4 :
(2a - 3b - c) - (2a + 2b + 4c) = -9 - (-4)
-5b -5c = -5 Rightarrow b + c = 1 (4)

Passo 8

Agora, vamos multiplicar a equação (1) por 3 e somar com a equação (3) para eliminar 3(a + b + 2c) = 3(-2) Rightarrow 3a + 3b + 6c = -6 :
(-3a + 2b + 5c) + (3a + 3b + 6c) = -13 + (-6)
5b + 11c = -19 (5)
b + c = 1 (4) 5b + 11c = -19 (5)
Agora temos um sistema com duas equações:

Passo 9

Vamos resolver esse sistema. Da equação (4), temos:
b = 1 - c
Substituímos na equação (5):
5(1 - c) + 11c = -19
5 - 5c + 11c = -19
6c = -24 Rightarrow c = -4
Agora, usando b = 1 - (-4) = 5 :

Passo 10

Agora que temos a + 5 + 2(-4) = -2 e a + 5 - 8 = -2 , substituímos na equação (1) para encontrar a - 3 = -2 Rightarrow a = 1 :

Resposta

As coordenadas do vetor a b c = 1 5 -4 na base são:

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