Em cada um dos itens abaixo encontre um conjunto finito
que gera o subespaço
do espaço vetorial
. Determine então a dimensão de
.
©
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um conjunto finito
que gera o subespaço
dentro do espaço vetorial
. O subespaço
é composto por todos os polinômios de grau até 3 que satisfazem
e
. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, geração de subespaços e dimensão. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse é o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais e grau no máximo 3. Ou seja, qualquer polinômio
em
pode ser escrito como:
onde
são números reais.
Passo 3
O subespaço
é formado pelos polinômios que satisfazem
e
. Vamos interpretar essas condições:
-
: Isso significa que quando substituímos no polinômio, o resultado é zero. Se fizermos isso:
Então, o termo constante
é zero.
-
: Substituindo :
Mas já sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos expressar o polinômio
com essas restrições:
Podemos reescrever isso agrupando os coeficientes:
Isso mostra que qualquer polinômio em
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
.
Passo 5
Portanto, um conjunto que gera
é:
Esses dois polinômios são suficientes para gerar todo o subespaço
, já que qualquer elemento de
é uma combinação linear desses dois.
Passo 6
Para determinar a dimensão de
, precisamos verificar se os vetores em
são linearmente independentes. Se forem, a dimensão será igual ao número de vetores em
.
Vamos supor que existem
e
tais que:
Isso implica que:
Para que isso seja válido para todo
, os coeficientes devem ser zero:
A única solução é
, o que mostra que os vetores são linearmente independentes.
Resposta
O conjunto
gera o subespaço
e a dimensão de
é 2.