Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um conjunto finito que gera o subespaço dentro do espaço vetorial . O subespaço é composto por todos os polinômios de grau até 3 que satisfazem e . Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, geração de subespaços e dimensão. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é . Esse é o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais e grau no máximo 3. Ou seja, qualquer polinômio em pode ser escrito como:
onde são números reais.
Passo 3
O subespaço é formado pelos polinômios que satisfazem e . Vamos interpretar essas condições:
: Isso significa que quando substituímos no polinômio, o resultado é zero. Se fizermos isso:
Então, o termo constante é zero.
: Substituindo :
Mas já sabemos que , então:
Passo 4
Agora, vamos expressar o polinômio com essas restrições:
Podemos reescrever isso agrupando os coeficientes:
Isso mostra que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear de e .
Passo 5
Portanto, um conjunto que gera é:
Esses dois polinômios são suficientes para gerar todo o subespaço , já que qualquer elemento de é uma combinação linear desses dois.
Passo 6
Para determinar a dimensão de , precisamos verificar se os vetores em são linearmente independentes. Se forem, a dimensão será igual ao número de vetores em .
Vamos supor que existem e tais que:
Isso implica que:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes devem ser zero:
A única solução é , o que mostra que os vetores são linearmente independentes.