Em cada um dos itens abaixo encontre um conjunto finito S que gera o subespaço W do espaço vetorial V. Determine então a dimensão de W.
© W=p in P3(R): p(0)=p(1)=0 ; V=P3(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um conjunto finito que gera o subespaço dentro do espaço vetorial . O subespaço é composto por todos os polinômios de grau até 3 que satisfazem e . Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, geração de subespaços e dimensão. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é p(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 . Esse é o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais e grau no máximo 3. Ou seja, qualquer polinômio em pode ser escrito como:
onde são números reais.

Passo 3

O subespaço p(0) = a0 = 0 implies a0 = 0 é formado pelos polinômios que satisfazem p(1) = a0 + a1 + a2 + a3 = 0 e a1 + a2 + a3 = 0 implies a3 = -a1 - a2 . Vamos interpretar essas condições:
  1. : Isso significa que quando substituímos no polinômio, o resultado é zero. Se fizermos isso:
Então, o termo constante é zero.
  1. : Substituindo :
Mas já sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos expressar o polinômio p(x) = 0 + a1x + a2x^2 + (-a1 - a2)x^3 = a1x + a2x^2 - a1x^3 - a2x^3 com essas restrições:
p(x) = a1(x - x^3) + a2(x^2 - x^3)
Podemos reescrever isso agrupando os coeficientes:
Isso mostra que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Passo 5

Portanto, um conjunto que gera S = x - x^3, , x^2 - x^3 é:
Esses dois polinômios são suficientes para gerar todo o subespaço , já que qualquer elemento de é uma combinação linear desses dois.

Passo 6

Para determinar a dimensão de c1(x - x^3) + c2(x^2 - x^3) = 0 , precisamos verificar se os vetores em c1x + c2x^2 + (-c1 - c2)x^3 = 0 são linearmente independentes. Se forem, a dimensão será igual ao número de vetores em c1 = 0, c2 = 0, -c1 - c2 = 0 .
Vamos supor que existem e tais que:
Isso implica que:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes devem ser zero:
A única solução é , o que mostra que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto gera o subespaço e a dimensão de é 2.

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