Em cada um dos itens abaixo encontre um conjunto finito que gera o subespaço do espaço vetorial . Determine então a dimensão de .
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um conjunto finito que gera o subespaço dentro do espaço vetorial . O subespaço é composto por todos os polinômios de grau até 3 que satisfazem e . Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, geração de subespaços e dimensão. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Esse é o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais e grau no máximo 3. Ou seja, qualquer polinômio em pode ser escrito como:
onde são números reais.

Passo 3

O subespaço é formado pelos polinômios que satisfazem e . Vamos interpretar essas condições:
  1. : Isso significa que quando substituímos no polinômio, o resultado é zero. Se fizermos isso:
Então, o termo constante é zero.
  1. : Substituindo :
Mas já sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos expressar o polinômio com essas restrições:
Podemos reescrever isso agrupando os coeficientes:
Isso mostra que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Passo 5

Portanto, um conjunto que gera é:
Esses dois polinômios são suficientes para gerar todo o subespaço , já que qualquer elemento de é uma combinação linear desses dois.

Passo 6

Para determinar a dimensão de , precisamos verificar se os vetores em são linearmente independentes. Se forem, a dimensão será igual ao número de vetores em .
Vamos supor que existem e tais que:
Isso implica que:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes devem ser zero:
A única solução é , o que mostra que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto gera o subespaço e a dimensão de é 2.

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