Determine o ângulo entre os planos pi1: x+2 y+z-10=0 e pi2: 2 x+y+z+1=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o ângulo entre dois planos: pi1: x + 2y + z - 10 = 0 e pi2: 2x + y + z + 1 = 0. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores normais e a fórmula para calcular o ângulo entre planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano.
  • Para pi1: x + 2y + z - 10 = 0, o vetor normal é n1 = (1, 2, 1).
  • Para pi2: 2x + y + z + 1 = 0, o vetor normal é n2 = (2, 1, 1).

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre os dois planos, que é o mesmo que o ângulo entre os seus vetores normais. A fórmula é:
cos theta = |n1 cdot n2||n1| , |n2|
Onde:
  • n1 cdot n2 é o produto escalar dos vetores normais.
  • |n1| e |n2| são as normas (comprimentos) dos vetores normais.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. Produto Escalar ( n1 cdot n2):
(1)(2) + (2)(1) + (1)(1) = 2 + 2 + 1 = 5
  1. Norma de n1 ( |n1|):
raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
  1. Norma de n2 ( |n2|):
raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
  1. Substituindo na fórmula:
cos theta = 5raiz6 times raiz6 = 56
  1. Calculando o ângulo:
theta = arccos(56) approx 33,56^circ

Resposta

O ângulo entre os planos pi1 e pi2 é aproximadamente 33,56 graus.

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