Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique suas respostas.
(h) Se é a matriz identidade de ordem é a matriz nula de ordem 3 e , então .
Passo 1
Beleza, vamos analisar essa afirmação. A gente está lidando com matrizes aqui, especificamente a matriz identidade e a matriz nula , ambas de ordem 3. Além disso, temos uma matriz dada. O que precisamos verificar é se a expressão é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as potências de matrizes e as propriedades da matriz identidade e da matriz nula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer matriz identidade elevada a qualquer potência continua sendo a mesma matriz identidade. Ou seja, para qualquer número inteiro . Isso porque multiplicar a matriz identidade por ela mesma não muda nada.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a matriz nula . Qualquer potência da matriz nula também é a matriz nula. Então, . Isso porque multiplicar a matriz nula por ela mesma ainda resulta na matriz nula.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão usando o que já sabemos:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Sabemos que somar qualquer matriz com a matriz nula não muda a matriz original. Portanto, . Assim, a expressão agora é:
Passo 6
Já que , temos:
Passo 7
Multiplicar qualquer matriz por da esquerda ou da direita não altera a matriz. Então: