Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique suas respostas.
(h) Se I é a matriz identidade de ordem 3, O é a matriz nula de ordem 3 e A=[rrr1 & 0 & -1 0 & 2 & 1 2 & 1 & -2], então I^4(A+O^2) I^3=A.

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa afirmação. A gente está lidando com matrizes aqui, especificamente a matriz identidade e a matriz nula , ambas de ordem 3. Além disso, temos uma matriz dada. O que precisamos verificar é se a expressão é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as potências de matrizes e as propriedades da matriz identidade e da matriz nula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer matriz identidade elevada a qualquer potência continua sendo a mesma matriz identidade. Ou seja, para qualquer número inteiro . Isso porque multiplicar a matriz identidade por ela mesma não muda nada.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a matriz nula . Qualquer potência da matriz nula também é a matriz nula. Então, . Isso porque multiplicar a matriz nula por ela mesma ainda resulta na matriz nula.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão I cdot (A + O) cdot I^3 usando o que já sabemos:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Sabemos que somar qualquer matriz com a matriz nula não muda a matriz original. Portanto, I cdot A cdot I^3 . Assim, a expressão agora é:

Passo 6

Já que I cdot A cdot I , temos:

Passo 7

Multiplicar qualquer matriz por I cdot A cdot I = A da esquerda ou da direita não altera a matriz. Então:

Resposta

Verdadeiro (V).

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