Mostre que a matriz P
diagonaliza a matriz A
P=(ccc 1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 -1 & 1 & 1 )
A=(ccc 3 & -1 & 1 -1 & 5 & -1 1 & -1 & 3 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a matriz diagonaliza a matriz . Isso significa que conseguimos escrever de uma forma mais simples usando . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é diagonalização e como usar as matrizes dadas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizada. Diagonalizar uma matriz A = P D P^-1 com uma matriz significa encontrar uma matriz diagonal tal que:
Aqui, é formada pelos vetores próprios (ou autovetores) de , e é uma matriz diagonal cujos elementos são os autovalores correspondentes.

Passo 3

O próximo passo é encontrar a matriz P = 1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 -1 & 1 & 1 , que é a inversa de P^-1 = 12 & -12 & -12 1 & 1 & 0 12 & -12 & 12 . Vamos calcular a inversa de :
Calculando a inversa de (usando métodos de matriz inversa que você possa conhecer ou uma calculadora de matrizes), obtemos:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar D = P^-1 A P por P^-1 A = 12 & -12 & -12 1 & 1 & 0 12 & -12 & 12 3 & -1 & 1 -1 & 5 & -1 1 & -1 & 3 e depois por D = (P^-1 A) P para encontrar a matriz diagonal :
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.
Primeiro, calculamos :
Depois, multiplicamos o resultado por :
Após realizar essas multiplicações, obtemos uma matriz diagonal .

Passo 5

Finalmente, após realizar as multiplicações, a matriz diagonal D = 2 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 2 é:

Resposta

A matriz diagonal D = 2 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 2 que diagonaliza é:

Exercícios relacionados