Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a matriz diagonaliza a matriz . Isso significa que conseguimos escrever de uma forma mais simples usando . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é diagonalização e como usar as matrizes dadas para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizada. Diagonalizar uma matriz com uma matriz significa encontrar uma matriz diagonal tal que:
Aqui, é formada pelos vetores próprios (ou autovetores) de , e é uma matriz diagonal cujos elementos são os autovalores correspondentes.
Passo 3
O próximo passo é encontrar a matriz , que é a inversa de . Vamos calcular a inversa de :
Calculando a inversa de (usando métodos de matriz inversa que você possa conhecer ou uma calculadora de matrizes), obtemos:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar por e depois por para encontrar a matriz diagonal :
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.
Primeiro, calculamos :
Depois, multiplicamos o resultado por :
Após realizar essas multiplicações, obtemos uma matriz diagonal .
Passo 5
Finalmente, após realizar as multiplicações, a matriz diagonal é: