Mostre que a matriz
diagonaliza a matriz

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a matriz diagonaliza a matriz . Isso significa que conseguimos escrever de uma forma mais simples usando . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é diagonalização e como usar as matrizes dadas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizada. Diagonalizar uma matriz com uma matriz significa encontrar uma matriz diagonal tal que:
Aqui, é formada pelos vetores próprios (ou autovetores) de , e é uma matriz diagonal cujos elementos são os autovalores correspondentes.

Passo 3

O próximo passo é encontrar a matriz , que é a inversa de . Vamos calcular a inversa de :
Calculando a inversa de (usando métodos de matriz inversa que você possa conhecer ou uma calculadora de matrizes), obtemos:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar por e depois por para encontrar a matriz diagonal :
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.
Primeiro, calculamos :
Depois, multiplicamos o resultado por :
Após realizar essas multiplicações, obtemos uma matriz diagonal .

Passo 5

Finalmente, após realizar as multiplicações, a matriz diagonal é:

Resposta

A matriz diagonal que diagonaliza é:

Exercícios relacionados

Calcule in distanctin entre or planos
Em cada um dos itens abaixo encontre um conjunto finito que gera o subespaço do espaço vetorial . Determine então a dimensão de .
© .
Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique suas respostas.
(h) Se é a matriz identidade de ordem é a matriz nula de ordem 3 e , então .