Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano .
(ii) contém o ponto e é paralelo ao plano determinado pelos pontos , e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que é paralelo a outro plano definido pelos pontos , e . Para resolver isso, precisamos saber como encontrar a equação de um plano usando um ponto e um vetor normal, além de entender o que significa dois planos serem paralelos.

Passo 2

Para encontrar a equação de um plano, geralmente usamos a fórmula:
onde é um ponto no plano e é o vetor normal ao plano.
Como nossa passa pelo ponto , esse será o nosso . Agora precisamos encontrar o vetor normal ao plano .

Passo 3

Sabemos que dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. Então, para encontrar o vetor normal à , vamos primeiro encontrar o vetor normal ao plano definido pelos pontos , e .

Passo 4

Para encontrar o vetor normal ao plano , precisamos calcular dois vetores que estão no plano e depois encontrar o produto vetorial deles.
Vamos calcular os vetores:

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial para encontrar o vetor normal:
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 6

Como o plano é paralelo ao plano , ele tem o mesmo vetor normal . Agora podemos usar o ponto e o vetor normal para escrever a equação de .
Usamos a fórmula:

Resposta

A equação do plano é:

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Determine, em função de , a posição relativa da reta e da circunferência .
Considere a cônica .
(d) Deteminar os autovalores da matriz que representa a cônica dada (em coordenadas cartesianas).
Determine o plano que dista da reta e contém o ponto .
Determine a equação geral dos planos tangentes à superfície esférica de equação que são paralelo ao plano .