Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano .
(ii) contém o ponto e é paralelo ao plano determinado pelos pontos , e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que é paralelo a outro plano definido pelos pontos , e . Para resolver isso, precisamos saber como encontrar a equação de um plano usando um ponto e um vetor normal, além de entender o que significa dois planos serem paralelos.
Passo 2
Para encontrar a equação de um plano, geralmente usamos a fórmula:
onde é um ponto no plano e é o vetor normal ao plano.
Como nossa passa pelo ponto , esse será o nosso . Agora precisamos encontrar o vetor normal ao plano .
Passo 3
Sabemos que dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. Então, para encontrar o vetor normal à , vamos primeiro encontrar o vetor normal ao plano definido pelos pontos , e .
Passo 4
Para encontrar o vetor normal ao plano , precisamos calcular dois vetores que estão no plano e depois encontrar o produto vetorial deles.
Vamos calcular os vetores:
Passo 5
Agora, calculamos o produto vetorial para encontrar o vetor normal:
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 6
Como o plano é paralelo ao plano , ele tem o mesmo vetor normal . Agora podemos usar o ponto e o vetor normal para escrever a equação de .