Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano pi.
(ii) pi contém o ponto P=(5,2,-1) e é paralelo ao plano determinado pelos pontos A=(1,3,-7), B=(-1,2,0) e C=(0,1,3).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação de um plano pi que passa pelo ponto P=(5,2,-1) e que é paralelo a outro plano definido pelos pontos A=(1,3,-7), B=(-1,2,0) e C=(0,1,3). Para resolver isso, precisamos saber como encontrar a equação de um plano usando um ponto e um vetor normal, além de entender o que significa dois planos serem paralelos.

Passo 2

Para encontrar a equação de um plano, geralmente usamos a fórmula:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano e (a, b, c) é o vetor normal ao plano.
Como nossa pi passa pelo ponto P=(5,2,-1), esse será o nosso (x0, y0, z0). Agora precisamos encontrar o vetor normal ao plano pi.

Passo 3

Sabemos que dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. Então, para encontrar o vetor normal à pi, vamos primeiro encontrar o vetor normal ao plano definido pelos pontos A, B e C.

Passo 4

Para encontrar o vetor normal ao plano ABC, precisamos calcular dois vetores que estão no plano e depois encontrar o produto vetorial deles.
Vamos calcular os vetores:
AB = B - A = (-1-1, 2-3, 0-(-7)) = (-2, -1, 7)
AC = C - A = (0-1, 1-3, 3-(-7)) = (-1, -2, 10)

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial AB times AC para encontrar o vetor normal:
AB times AC = i & j & k -2 & -1 & 7 -1 & -2 & 10
Calculando o determinante:
i(-1 cdot 10 - 7 cdot (-2)) - j(-2 cdot 10 - 7 cdot (-1)) + k(-2 cdot (-2) - (-1) cdot (-1)) = i(-10 + 14) - j(-20 + 7) + k(4 - 1) = i(4) - j(-13) + k(3) = (4, 13, 3)
Então, o vetor normal ao plano ABC é n = (4, 13, 3).

Passo 6

Como o plano pi é paralelo ao plano ABC, ele tem o mesmo vetor normal n = (4, 13, 3). Agora podemos usar o ponto P=(5,2,-1) e o vetor normal para escrever a equação de pi.
Usamos a fórmula:
4(x - 5) + 13(y - 2) + 3(z + 1) = 0

Resposta

A equação do plano pi é:
4(x - 5) + 13(y - 2) + 3(z + 1) = 0

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