Determine o plano que dista
da reta
e contém o ponto
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um plano que satisfaz duas condições:
- O plano está a uma distância de
da reta , onde . - O plano contém o ponto
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a distância entre uma reta e um plano, e a equação geral de um plano no espaço tridimensional.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a equação geral de um plano no espaço tridimensional. A equação geral de um plano é dada por:
onde
é o vetor normal ao plano.
Como o plano contém o ponto
, podemos substituir as coordenadas de
na equação do plano para encontrar a relação entre os coeficientes:
Portanto, a equação do plano pode ser reescrita como:
Passo 3
Agora, precisamos garantir que a distância entre o plano e a reta
seja
.
Para calcular a distância entre uma reta e um plano, usamos a seguinte fórmula:
onde:
-
é o vetor normal ao plano, -
é um ponto do plano, -
é um ponto da reta.
Escolhemos
e
(ponto quando
na reta
).
Substituindo na fórmula da distância:
Simplificando:
Passo 4
Para resolver essa equação, observamos que
deve ser perpendicular à direção da reta
. A direção da reta
é dada pelo vetor
.
Como
é perpendicular a
, temos:
Essa é uma equação que relaciona os coeficientes
.
Passo 5
Voltando à equação da distância:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar o valor absoluto e as raízes:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, combinamos este resultado com a equação obtida anteriormente:
Substituímos
na equação
:
Simplificando:
Passo 7
Com
, e sabendo que
, podemos escolher valores para os coeficientes. Para simplificar, vamos escolher
. Então:
Então, o vetor normal ao plano é
.
Passo 8
Substituindo os valores de
na equação do plano:
Portanto, a equação do plano é:
Resposta
A equação do plano é
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano
.
(ii) contém o ponto
e é paralelo ao plano determinado pelos pontos
,
e
.
(ii)
Determine, em função de
, a posição relativa da reta
e da circunferência
.
Determine a equação geral dos planos tangentes à superfície esférica de equação
que são paralelo ao plano
.
Fixe um sistema de coordenadas ortogonal
Considere o tetraedro onde
e
. Acha a equação geral do plano
paralelo a base
, distante
dela, e que intercepta o tetraedro.
Considere o tetraedro