Determine o plano que dista 2raiz6 da reta r: X=(1,1,0)+lambda(-1,1,1)(lambda in R) e contém o ponto P=(0,1,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um plano que satisfaz duas condições:
  1. O plano está a uma distância de da reta , onde .
  2. O plano contém o ponto .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a distância entre uma reta e um plano, e a equação geral de um plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação geral de um plano no espaço tridimensional. A equação geral de um plano é dada por:
Ax + By + Cz + D = 0
onde A(0) + B(1) + C(0) + D = 0 implies B + D = 0 implies D = -B é o vetor normal ao plano.
Como o plano contém o ponto Ax + By + Cz - B = 0 implies Ax + By + Cz = B , podemos substituir as coordenadas de na equação do plano para encontrar a relação entre os coeficientes:
Portanto, a equação do plano pode ser reescrita como:

Passo 3

Agora, precisamos garantir que a distância entre o plano e a reta Distância = |n cdot (P0 - Q)||n| seja 2raiz6 = |n cdot ((0,1,0) - (1,1,0))||n| = |n cdot (-1,0,0)||n| = | -A |raizA^2 + B^2 + C^2 .
Para calcular a distância entre uma reta e um plano, usamos a seguinte fórmula:
2raiz6 = |A|raizA^2 + B^2 + C^2 â
onde:
  • é o vetor normal ao plano,
  • é um ponto do plano,
  • é um ponto da reta.
Escolhemos e (ponto quando na reta ).
Substituindo na fórmula da distância:
Simplificando:

Passo 4

Para resolver essa equação, observamos que n cdot d = 0 implies -A + B + C = 0 implies -A + B + C = 0 deve ser perpendicular à direção da reta . A direção da reta é dada pelo vetor .
Como é perpendicular a , temos:
Essa é uma equação que relaciona os coeficientes .

Passo 5

Voltando à equação da distância:
2raiz6 = |A|raizA^2 + B^2 + C^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar o valor absoluto e as raízes:
( 2raiz6 )^2 = ( AraizA^2 + B^2 + C^2 )^2
46 = A^2A^2 + B^2 + C^2 implies 23 = A^2A^2 + B^2 + C^2
Multiplicando ambos os lados por 2(A^2 + B^2 + C^2) = 3A^2 implies 2A^2 + 2B^2 + 2C^2 = 3A^2 :
2B^2 + 2C^2 = A^2
Simplificando:

Passo 6

Agora, combinamos este resultado com a equação obtida anteriormente:
-A + B + C = 0 implies A = B + C
Substituímos 2B^2 + 2C^2 = (B + C)^2 = B^2 + 2BC + C^2 na equação 2B^2 + 2C^2 - B^2 - 2BC - C^2 = 0 implies B^2 + C^2 - 2BC = 0 :
(B - C)^2 = 0 implies B = C
Simplificando:

Passo 7

Com B = 1, C = 1, A = 2 , e sabendo que , podemos escolher valores para os coeficientes. Para simplificar, vamos escolher . Então:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 8

Substituindo os valores de 2x + y + z = B = 1 na equação do plano:
2x + y + z = 1
Portanto, a equação do plano é:

Resposta

A equação do plano é .

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