Determine o plano que dista da reta e contém o ponto .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um plano que satisfaz duas condições:
  1. O plano está a uma distância de da reta , onde .
  2. O plano contém o ponto .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a distância entre uma reta e um plano, e a equação geral de um plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação geral de um plano no espaço tridimensional. A equação geral de um plano é dada por:
onde é o vetor normal ao plano.
Como o plano contém o ponto , podemos substituir as coordenadas de na equação do plano para encontrar a relação entre os coeficientes:
Portanto, a equação do plano pode ser reescrita como:

Passo 3

Agora, precisamos garantir que a distância entre o plano e a reta seja .
Para calcular a distância entre uma reta e um plano, usamos a seguinte fórmula:
â
onde:
  • é o vetor normal ao plano,
  • é um ponto do plano,
  • é um ponto da reta.
Escolhemos e (ponto quando na reta ).
Substituindo na fórmula da distância:
Simplificando:

Passo 4

Para resolver essa equação, observamos que deve ser perpendicular à direção da reta . A direção da reta é dada pelo vetor .
Como é perpendicular a , temos:
Essa é uma equação que relaciona os coeficientes .

Passo 5

Voltando à equação da distância:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar o valor absoluto e as raízes:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 6

Agora, combinamos este resultado com a equação obtida anteriormente:
Substituímos na equação :
Simplificando:

Passo 7

Com , e sabendo que , podemos escolher valores para os coeficientes. Para simplificar, vamos escolher . Então:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 8

Substituindo os valores de na equação do plano:
Portanto, a equação do plano é:

Resposta

A equação do plano é .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano .
(ii) contém o ponto e é paralelo ao plano determinado pelos pontos , e .
Determine, em função de , a posição relativa da reta e da circunferência .
Determine a equação geral dos planos tangentes à superfície esférica de equação que são paralelo ao plano .
Fixe um sistema de coordenadas ortogonal
Considere o tetraedro onde e . Acha a equação geral do plano paralelo a base , distante dela, e que intercepta o tetraedro.