Considere a cônica
.
(d) Deteminar os autovalores da matriz que representa a cônica dada (em coordenadas cartesianas).
(d) Deteminar os autovalores da matriz que representa a cônica dada (em coordenadas cartesianas).
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a equação da cônica
e precisamos determinar os autovalores da matriz que representa essa cônica em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender sobre matrizes associadas a cônicas e como encontrar seus autovalores.
Passo 2
Vamos começar reorganizando a equação da cônica para identificar os coeficientes quadráticos e lineares. A equação dada é:
Aqui, os coeficientes de
e
são 4 e 9, respectivamente, e os coeficientes lineares de
e
são -8 e -36.
Passo 3
A próxima etapa é escrever a matriz associada à cônica. Para uma equação geral da forma
, a matriz associada é:
No nosso caso, como não há termo
(ou seja,
), a matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Autovalores são valores que caracterizam a matriz e são encontrados resolvendo a equação característica:
Calculando o determinante:
Passo 5
Resolvendo a equação
, encontramos os valores de
:
Portanto, os autovalores da matriz são 4 e 9.
Resposta
Os autovalores da matriz que representa a cônica dada são 4 e 9.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano
.
(iv) contém as retas
e
.
(iv)
Considere a cônica
.
© Escrevê-la em coordenadas polares,
© Escrevê-la em coordenadas polares,
Determine, em função de
, a posição relativa da reta
e da circunferência
.
Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano
.
(ii) contém o ponto
e é paralelo ao plano determinado pelos pontos
,
e
.
(ii)