Considere a cônica 4 x^2+9 y^2-8 x-36 y+4=0.
(d) Deteminar os autovalores da matriz que representa a cônica dada (em coordenadas cartesianas). (0,5)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a equação da cônica e precisamos determinar os autovalores da matriz que representa essa cônica em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender sobre matrizes associadas a cônicas e como encontrar seus autovalores.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação da cônica para identificar os coeficientes quadráticos e lineares. A equação dada é:
4x^2 + 9y^2 - 8x - 36y + 4 = 0
Aqui, os coeficientes de e são 4 e 9, respectivamente, e os coeficientes lineares de e são -8 e -36.

Passo 3

A próxima etapa é escrever a matriz associada à cônica. Para uma equação geral da forma A & B2 B2 & C , a matriz associada é:
4 & 0 0 & 9
No nosso caso, como não há termo (ou seja, ), a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Autovalores são valores que caracterizam a matriz e são encontrados resolvendo a equação característica:
det( 4 & 0 0 & 9 - lambda 1 & 0 0 & 1 ) = 0
Calculando o determinante:
det( 4 - lambda & 0 0 & 9 - lambda ) = (4 - lambda)(9 - lambda) = 0

Passo 5

Resolvendo a equação 4 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 4 , encontramos os valores de 9 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 9 :
Portanto, os autovalores da matriz são 4 e 9.

Resposta

Os autovalores da matriz que representa a cônica dada são 4 e 9.

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