Considere a cônica .
(d) Deteminar os autovalores da matriz que representa a cônica dada (em coordenadas cartesianas).

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a equação da cônica e precisamos determinar os autovalores da matriz que representa essa cônica em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender sobre matrizes associadas a cônicas e como encontrar seus autovalores.

Passo 2

Vamos começar reorganizando a equação da cônica para identificar os coeficientes quadráticos e lineares. A equação dada é:
Aqui, os coeficientes de e são 4 e 9, respectivamente, e os coeficientes lineares de e são -8 e -36.

Passo 3

A próxima etapa é escrever a matriz associada à cônica. Para uma equação geral da forma , a matriz associada é:
No nosso caso, como não há termo (ou seja, ), a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Autovalores são valores que caracterizam a matriz e são encontrados resolvendo a equação característica:
Calculando o determinante:

Passo 5

Resolvendo a equação , encontramos os valores de :
Portanto, os autovalores da matriz são 4 e 9.

Resposta

Os autovalores da matriz que representa a cônica dada são 4 e 9.

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano .
(iv) contém as retas e .
Considere a cônica .
© Escrevê-la em coordenadas polares,
Determine, em função de , a posição relativa da reta e da circunferência .
Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano .
(ii) contém o ponto e é paralelo ao plano determinado pelos pontos , e .