Determine, em função de
, a posição relativa da reta
e da circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma reta dada por
e uma circunferência
. Nosso objetivo é descobrir como essa reta se relaciona com a circunferência dependendo do valor de
. Isso faz parte do estudo de geometria analítica, onde vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da circunferência na forma padrão. A equação geral é
. Para achar o centro e o raio, completamos o quadrado:
Completo o quadrado para
e
:
Simplificando:
Então, o centro da circunferência é
e o raio é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a distância entre o centro da circunferência,
, e a reta
. A fórmula para a distância
de um ponto
a uma reta
é:
Aqui,
,
,
, e
.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Então, a distância entre o centro e a reta é
.
Passo 5
Para determinar a posição relativa, comparamos essa distância
com o raio
:
- Se
: A reta não corta a circunferência (reta externa). - Se
: A reta é tangente à circunferência. - Se
: A reta corta a circunferência em dois pontos.
Vamos colocar isso em função de
:
Resposta
Para a reta
e a circunferência
:
- Se
, a reta está fora da circunferência. - Se
, a reta é tangente à circunferência. - Se
, a reta corta a circunferência em dois pontos.