Determine, em função de k, a posição relativa da reta 4 x+3 y+k=0 e da circunferência x^2+y^2-12 x+16 y+96=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma reta dada por e uma circunferência . Nosso objetivo é descobrir como essa reta se relaciona com a circunferência dependendo do valor de . Isso faz parte do estudo de geometria analítica, onde vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da circunferência na forma padrão. A equação geral é x^2 - 12x + y^2 + 16y = -96 . Para achar o centro e o raio, completamos o quadrado:
(x^2 - 12x + 36) + (y^2 + 16y + 64) = -96 + 36 + 64
Completo o quadrado para (x - 6)^2 + (y + 8)^2 = 4 e :
Simplificando:
Então, o centro da circunferência é e o raio é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a distância entre o centro da circunferência, d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2 , e a reta . A fórmula para a distância de um ponto a uma reta é:
Aqui, , , , e .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
d = |4 cdot 6 + 3 cdot (-8) + k|raiz4^2 + 3^2 = |24 - 24 + k|5 = |k|5
Então, a distância entre o centro e a reta é .

Passo 5

Para determinar a posição relativa, comparamos essa distância |k|5 > 2 Rightarrow |k| > 10 com o raio |k|5 = 2 Rightarrow |k| = 10 :
  1. Se |k|5 < 2 Rightarrow |k| < 10 : A reta não corta a circunferência (reta externa).
  2. Se : A reta é tangente à circunferência.
  3. Se : A reta corta a circunferência em dois pontos.
Vamos colocar isso em função de :

Resposta

Para a reta e a circunferência :
  • Se , a reta está fora da circunferência.
  • Se , a reta é tangente à circunferência.
  • Se , a reta corta a circunferência em dois pontos.

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