Determine a equação geral dos planos tangentes à superfície esférica de equação que são paralelo ao plano .

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo planos tangentes a uma esfera. O enunciado pede para determinar a equação geral dos planos que tocam a esfera definida por e que são paralelos ao plano . Para isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica como equação da esfera, condição para planos tangentes e paralelismo entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da esfera no formato canônico para identificar o centro e o raio. A equação geral da esfera é dada por:
Comparando com a nossa equação:
Podemos identificar , , e .

Passo 3

Para colocar a equação da esfera no formato canônico , completamos o quadrado para cada variável.
Para :
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação da esfera:
Simplificando:
Então, o centro da esfera é e o raio .

Passo 4

Agora, sabemos que planos paralelos têm coeficientes diretores iguais, ou seja, os mesmos coeficientes de , e na equação geral. O plano dado é , então qualquer plano paralelo terá a forma:
Onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 5

Para que o plano seja tangente à esfera, a distância do centro da esfera ao plano deve ser igual ao raio da esfera. A fórmula da distância de um ponto a um plano é:
Aplicando isso ao nosso caso, onde , , , e o centro , temos:
Simplificando o denominador:
Então:
Isso nos dá duas soluções para :

Resposta

As equações gerais dos planos tangentes são:

Exercícios relacionados

Determine o plano que dista da reta e contém o ponto .
Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano .
(ii) contém o ponto e é paralelo ao plano determinado pelos pontos , e .
Fixe um sistema de coordenadas ortogonal
Considere o tetraedro onde e . Acha a equação geral do plano paralelo a base , distante dela, e que intercepta o tetraedro.
Identificar e representar graficamente as superfícies ou curvas no cujas as representações são dadas abaixo.(faça interseção com os planos coordenados)
e