Determine a equação geral dos planos tangentes à superfície esférica de equação x^2+y^2+z^2-4 x+6 y+2 z-13=0 que são paralelo ao plano x+y+z=0.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo planos tangentes a uma esfera. O enunciado pede para determinar a equação geral dos planos que tocam a esfera definida por e que são paralelos ao plano . Para isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica como equação da esfera, condição para planos tangentes e paralelismo entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da esfera no formato canônico para identificar o centro e o raio. A equação geral da esfera é dada por:
x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0
Comparando com a nossa equação:
x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y + 2z - 13 = 0
Podemos identificar , , e .

Passo 3

Para colocar a equação da esfera no formato canônico x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 , completamos o quadrado para cada variável.
Para y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 :
z^2 + 2z = (z + 1)^2 - 1
Para (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 + (z + 1)^2 - 1 - 13 = 0 :
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z + 1)^2 = 27
Para :
Substituindo de volta na equação da esfera:
Simplificando:
Então, o centro da esfera é e o raio .

Passo 4

Agora, sabemos que planos paralelos têm coeficientes diretores iguais, ou seja, os mesmos coeficientes de x + y + z + D = 0 , e na equação geral. O plano dado é , então qualquer plano paralelo terá a forma:
Onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 5

Para que o plano seja tangente à esfera, a distância do centro da esfera ao plano deve ser igual ao raio da esfera. A fórmula da distância d = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2 de um ponto 3raiz3 = |1 cdot 2 + 1 cdot (-3) + 1 cdot (-1) + D|raiz1^2 + 1^2 + 1^2 a um plano raiz3 é:
3raiz3 = |2 - 3 - 1 + D|raiz3 Rightarrow 3raiz3 cdot raiz3 = |D - 2|
Aplicando isso ao nosso caso, onde 9 = |D - 2| , D - 2 = 9 Rightarrow D = 11 , D - 2 = -9 Rightarrow D = -7 , e o centro , temos:
Simplificando o denominador:
Então:
Isso nos dá duas soluções para :

Resposta

As equações gerais dos planos tangentes são:
x + y + z + 11 = 0 e x + y + z - 7 = 0

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