Determine a equação geral dos planos tangentes à superfície esférica de equação
que são paralelo ao plano
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria envolvendo planos tangentes a uma esfera. O enunciado pede para determinar a equação geral dos planos que tocam a esfera definida por
e que são paralelos ao plano
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica como equação da esfera, condição para planos tangentes e paralelismo entre planos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da esfera no formato canônico para identificar o centro e o raio. A equação geral da esfera é dada por:
Comparando com a nossa equação:
Podemos identificar
,
,
e
.
Passo 3
Para colocar a equação da esfera no formato canônico
, completamos o quadrado para cada variável.
Para
:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta na equação da esfera:
Simplificando:
Então, o centro da esfera é
e o raio
.
Passo 4
Agora, sabemos que planos paralelos têm coeficientes diretores iguais, ou seja, os mesmos coeficientes de
,
e
na equação geral. O plano dado é
, então qualquer plano paralelo terá a forma:
Onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 5
Para que o plano seja tangente à esfera, a distância do centro da esfera ao plano deve ser igual ao raio da esfera. A fórmula da distância
de um ponto
a um plano
é:
Aplicando isso ao nosso caso, onde
,
,
, e o centro
, temos:
Simplificando o denominador:
Então:
Isso nos dá duas soluções para
:
Resposta
As equações gerais dos planos tangentes são:
Exercícios relacionados
Determine o plano que dista
da reta
e contém o ponto
.
Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano
.
(ii) contém o ponto
e é paralelo ao plano determinado pelos pontos
,
e
.
(ii)
Fixe um sistema de coordenadas ortogonal
Considere o tetraedro onde
e
. Acha a equação geral do plano
paralelo a base
, distante
dela, e que intercepta o tetraedro.
Considere o tetraedro
Identificar e representar graficamente as superfícies ou curvas no
cujas as representações são dadas abaixo.(faça interseção com os planos coordenados)
e