Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano pi.
(iv) pi contém as retas r:(x, y, z)=(-2,1,1)+t(4,3,0)(t in R) e s:(x, y, z)=(7,7,-1)+ t(5,3,-2)(t in R).

Passo 1

Beleza, temos um problema de geometria analítica onde precisamos achar a equação de um plano que contém duas retas específicas. Vamos precisar usar vetores e conhecimentos sobre como determinar um plano a partir de duas retas que estão nele.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . A reta é dada por , então o vetor diretor é . A reta é dada por , então o vetor diretor é .

Passo 3

Para achar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Esse vetor normal pode ser encontrado fazendo o produto vetorial dos vetores diretores das duas retas, ou seja, .

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial:
n = i & j & k 4 & 3 & 0 5 & 3 & -2 = i(3 cdot (-2) - 0 cdot 3) - j(4 cdot (-2) - 0 cdot 5) + k(4 cdot 3 - 3 cdot 5)
Simplificando:
n = i(-6) - j(-8) + k(12 - 15) = (-6, 8, -3)

Passo 5

Agora que temos o vetor normal -6(x + 2) + 8(y - 1) - 3(z - 1) = 0 , podemos usar um ponto de uma das retas para escrever a equação do plano. Vamos usar o ponto -6x - 12 + 8y - 8 - 3z + 3 = 0 -6x + 8y - 3z - 17 = 0 6x - 8y + 3z + 17 = 0 da reta .
A equação do plano é dada por:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano é .

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