Considere a cônica
.
© Escrevê-la em coordenadas polares,
© Escrevê-la em coordenadas polares,
Passo 1
Vamos resumir o enunciado da questão. Temos a equação de uma cônica
. O objetivo é escrever essa equação em coordenadas polares com o sistema centralizado em
. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e ajustar a equação da cônica de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos completar o quadrado para reorganizar a equação da cônica. Agrupamos os termos de
e de
:
Passo 3
Completar o quadrado para o termo em
:
Passo 4
Completar o quadrado para o termo em
:
Passo 5
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Isolando os termos quadráticos:
Dividindo ambos os lados por 36:
Passo 7
Identificamos que a equação representa uma elipse com centro em
, semi-eixos
e
.
Passo 8
Agora, para converter para coordenadas polares com o centro deslocado para
, usamos as relações:
Passo 9
Substituindo essas expressões na equação da elipse:
Resposta
A equação da cônica em coordenadas polares, com origem em
, é:
Exercícios relacionados
(a) Calcular os valores de
para que o plano
seja perpendicular ao plano
Dada a elipse
, esboce seu gráfico e determine:
(a) o comprimento do semieixo maior
© as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices
(a) o comprimento do semieixo maior
© as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices
Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano
.
(iv) contém as retas
e
.
(iv)
Considere a cônica
.
(d) Deteminar os autovalores da matriz que representa a cônica dada (em coordenadas cartesianas).
(d) Deteminar os autovalores da matriz que representa a cônica dada (em coordenadas cartesianas).