Considere a cônica 4 x^2+9 y^2-8 x-36 y+4=0.
© Escrevê-la em coordenadas polares, (0,5)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da questão. Temos a equação de uma cônica . O objetivo é escrever essa equação em coordenadas polares com o sistema centralizado em . Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e ajustar a equação da cônica de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado para reorganizar a equação da cônica. Agrupamos os termos de 4x^2 - 8x + 9y^2 - 36y + 4 = 0 e de :

Passo 3

Completar o quadrado para o termo em 4(x^2 - 2x) = 4[(x^2 - 2x + 1) - 1] = 4(x - 1)^2 - 4 :

Passo 4

Completar o quadrado para o termo em 9(y^2 - 4y) = 9[(y^2 - 4y + 4) - 4] = 9(y - 2)^2 - 36 :

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
4(x - 1)^2 - 4 + 9(y - 2)^2 - 36 + 4 = 0
Simplificando:
4(x - 1)^2 + 9(y - 2)^2 - 36 = 0

Passo 6

Isolando os termos quadráticos:
4(x - 1)^2 + 9(y - 2)^2 = 36
Dividindo ambos os lados por 36:
(x - 1)^29 + (y - 2)^24 = 1

Passo 7

Identificamos que a equação representa uma elipse com centro em , semi-eixos e .

Passo 8

Agora, para converter para coordenadas polares com o centro deslocado para x = r costheta , usamos as relações:
y = r sintheta + 5

Passo 9

Substituindo essas expressões na equação da elipse:
(r costheta - 1)^29 + (r sintheta + 3)^24 = 1

Resposta

A equação da cônica em coordenadas polares, com origem em (r costheta - 1)^29 + (r sintheta + 3)^24 = 1 , é:

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