Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano pi.
(v) pi é equidistante dos pontos A=(1,-3,7) e B=(3,-5,9) e perpendicular ao segmento A B.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um plano que seja equidistante dos pontos e e que seja perpendicular ao segmento . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos e vetores.

Passo 2

Vamos começar encontrando o vetor que une os pontos AB = B - A = (3 - 1, , -5 - (-3), , 9 - 7) = (2, , -2, , 2) e . Esse vetor é chamado de vetor AB e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 3

Como o plano deve ser equidistante de M = ( 1 + 32, , -3 + (-5)2, , 7 + 92 ) = (2, , -4, , 8) e , ele deve passar pelo ponto médio do segmento . Para encontrar o ponto médio , calculamos a média das coordenadas de e :

Passo 4

Sabemos que o vetor AB é normal ao plano que estamos procurando, ou seja, ele é perpendicular ao plano. A equação de um plano pode ser escrita usando o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto 2(x - 2) - 2(y + 4) + 2(z - 8) = 0 que pertence ao plano:
2x - 4 - 2y - 8 + 2z - 16 = 0 2x - 2y + 2z - 28 = 0
No nosso caso, o vetor normal é x - y + z - 14 = 0 e o ponto . Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Simplificando a equação:
Podemos simplificar ainda mais dividindo todos os termos por 2:

Resposta

A equação do plano x - y + z = 14 é:

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