Determine a equação de cada seção cônica.
(a) Hipérbole de vértices (0, pm 7) e b=3.
(b) Parábola de foco (0,-10) e diretriz y=10.
© Elipse de vértices (0, pm 10) e focos (0, pm 5).
(d) Hipérbole de vértices (0, pm 6) e assíntotas y= pm 9 x.

Passo 1

Beleza, vamos começar com a hipérbole. O enunciado nos dá os vértices em (0, pm 7) e b = 3. Primeiro, precisamos lembrar da forma padrão da equação de uma hipérbole vertical, que é:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Aqui, a representa a distância do centro aos vértices na direção vertical, e b está relacionado às assíntotas.

Passo 2

Sabendo que os vértices estão em (0, pm 7), temos a = 7. E b já foi dado como 3. Substituindo esses valores na equação padrão:
y^27^2 - x^23^2 = 1 y^249 - x^29 = 1
Resposta (a): A equação da hipérbole é y^249 - x^29 = 1.

Passo 3

Agora, vamos para a parábola. O foco está em (0, -10) e a diretriz é y = 10. Para uma parábola vertical, a forma padrão é:
(y - k) = 14p(x - h)^2
Onde (h, k) é o vértice e p é a distância do vértice ao foco.

Passo 4

Primeiro, identificamos que o foco está em (0, -10) e a diretriz é y = 10. A parábola está voltada para baixo porque o foco está abaixo da diretriz. A distância entre o foco e a diretriz é p = 10.
O vértice fica exatamente no meio entre o foco e a diretriz, então:
k = -10 + 102 = 0
Então, h = 0 e k = 0. Substituindo na equação:
y = 14(-10)x^2 y = -140x^2
Resposta (b): A equação da parábola é y = -140x^2.

Passo 5

Vamos para a elipse agora. Os vértices estão em (0, pm 10) e os focos em (0, pm 5). A forma padrão da elipse vertical é:
y^2a^2 + x^2b^2 = 1
Onde a é a distância do centro aos vértices na direção vertical, e c é a distância do centro aos focos, com c^2 = a^2 - b^2.

Passo 6

Sabemos que a = 10 (pois os vértices estão em (0, pm 10)) e os focos estão a c = 5 do centro. Usando a relação c^2 = a^2 - b^2:
5^2 = 10^2 - b^2 25 = 100 - b^2 b^2 = 100 - 25 b^2 = 75
Substituindo na equação padrão:
y^2100 + x^275 = 1
Resposta ©: A equação da elipse é y^2100 + x^275 = 1.

Passo 7

Por último, temos outra hipérbole com vértices em (0, pm 6) e assíntotas y = pm 9x. A forma padrão da hipérbole vertical é:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
As assíntotas para a hipérbole vertical são dadas por y = pm abx.

Passo 8

Primeiro, identificamos que a = 6 (vértices em (0, pm 6)). As assíntotas são y = pm 9x, o que nos dá ab = 9. Então:
b = a9 = 69 = 23
Agora, substituindo a e b na equação padrão:
y^26^2 - x^2(23)^2 = 1 y^236 - x^249 = 1 y^236 - 9x^24 = 1
Resposta (d): A equação da hipérbole é y^236 - 9x^24 = 1.

Resposta

As equações das seções cônicas são:
a) Hipérbole: y^249 - x^29 = 1
b) Parábola: y = -140x^2
c) Elipse: y^2100 + x^275 = 1
d) Hipérbole: y^236 - 9x^24 = 1

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