Determine a equação de cada seção cônica.
(a) Hipérbole de vértices e .
(b) Parábola de foco e diretriz .
© Elipse de vértices e focos .
(d) Hipérbole de vértices e assíntotas .

Passo 1

Beleza, vamos começar com a hipérbole. O enunciado nos dá os vértices em e . Primeiro, precisamos lembrar da forma padrão da equação de uma hipérbole vertical, que é:
Aqui, representa a distância do centro aos vértices na direção vertical, e está relacionado às assíntotas.

Passo 2

Sabendo que os vértices estão em , temos . E já foi dado como . Substituindo esses valores na equação padrão:
Resposta (a): A equação da hipérbole é .

Passo 3

Agora, vamos para a parábola. O foco está em e a diretriz é . Para uma parábola vertical, a forma padrão é:
Onde é o vértice e é a distância do vértice ao foco.

Passo 4

Primeiro, identificamos que o foco está em e a diretriz é . A parábola está voltada para baixo porque o foco está abaixo da diretriz. A distância entre o foco e a diretriz é .
O vértice fica exatamente no meio entre o foco e a diretriz, então:
Então, e . Substituindo na equação:
Resposta (b): A equação da parábola é .

Passo 5

Vamos para a elipse agora. Os vértices estão em e os focos em . A forma padrão da elipse vertical é:
Onde é a distância do centro aos vértices na direção vertical, e é a distância do centro aos focos, com .

Passo 6

Sabemos que (pois os vértices estão em ) e os focos estão a do centro. Usando a relação :
Substituindo na equação padrão:
Resposta ©: A equação da elipse é .

Passo 7

Por último, temos outra hipérbole com vértices em e assíntotas . A forma padrão da hipérbole vertical é:
As assíntotas para a hipérbole vertical são dadas por .

Passo 8

Primeiro, identificamos que (vértices em ). As assíntotas são , o que nos dá . Então:
Agora, substituindo e na equação padrão:
Resposta (d): A equação da hipérbole é .

Resposta

As equações das seções cônicas são:
a) Hipérbole:
b) Parábola:
c) Elipse:
d) Hipérbole:

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano .
(v) é equidistante dos pontos e e perpendicular ao segmento .
Sejam e matrizes de ordem . Sabendo que mostre que
Considere o espaço vetorial . Seja . Determine uma base para .
Seja a reta contida no plano , que passa pelos pontos e . Assinale a alternativa que contém as coordenadas de um ponto da reta perpendicular a , contida em , que passa por .
(A)
(B)
©
(D)
(E)