Determine a equação de cada seção cônica.
(a) Hipérbole de vértices
e
.
(b) Parábola de foco
e diretriz
.
© Elipse de vértices
e focos
.
(d) Hipérbole de vértices
e assíntotas
.
(a) Hipérbole de vértices
(b) Parábola de foco
© Elipse de vértices
(d) Hipérbole de vértices
Passo 1
Beleza, vamos começar com a hipérbole. O enunciado nos dá os vértices em
e
. Primeiro, precisamos lembrar da forma padrão da equação de uma hipérbole vertical, que é:
Aqui,
representa a distância do centro aos vértices na direção vertical, e
está relacionado às assíntotas.
Passo 2
Sabendo que os vértices estão em
, temos
. E
já foi dado como
. Substituindo esses valores na equação padrão:
Resposta (a): A equação da hipérbole é
.
Passo 3
Agora, vamos para a parábola. O foco está em
e a diretriz é
. Para uma parábola vertical, a forma padrão é:
Onde
é o vértice e
é a distância do vértice ao foco.
Passo 4
Primeiro, identificamos que o foco está em
e a diretriz é
. A parábola está voltada para baixo porque o foco está abaixo da diretriz. A distância entre o foco e a diretriz é
.
O vértice fica exatamente no meio entre o foco e a diretriz, então:
Então,
e
. Substituindo na equação:
Resposta (b): A equação da parábola é
.
Passo 5
Vamos para a elipse agora. Os vértices estão em
e os focos em
. A forma padrão da elipse vertical é:
Onde
é a distância do centro aos vértices na direção vertical, e
é a distância do centro aos focos, com
.
Passo 6
Sabemos que
(pois os vértices estão em
) e os focos estão a
do centro. Usando a relação
:
Substituindo na equação padrão:
Resposta ©: A equação da elipse é
.
Passo 7
Por último, temos outra hipérbole com vértices em
e assíntotas
. A forma padrão da hipérbole vertical é:
As assíntotas para a hipérbole vertical são dadas por
.
Passo 8
Primeiro, identificamos que
(vértices em
). As assíntotas são
, o que nos dá
. Então:
Agora, substituindo
e
na equação padrão:
Resposta (d): A equação da hipérbole é
.
Resposta
As equações das seções cônicas são:
a) Hipérbole:
b) Parábola:
c) Elipse:
d) Hipérbole:
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano
.
(v) é equidistante dos pontos
e
e perpendicular ao segmento
.
(v)
Sejam
e
matrizes de ordem
. Sabendo que
mostre que
Considere o espaço vetorial
. Seja
. Determine uma base para
.
Seja
a reta contida no plano
, que passa pelos pontos
e
. Assinale a alternativa que contém as coordenadas de um ponto da reta perpendicular a
, contida em
, que passa por
.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)