Considere o espaço vetorial V=R^3. Seja W=(x, y, z) in R^3 ; 5 x+y-2 z=0 subset V. Determine uma base para W.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial V = R^3 e um subconjunto W formado por todos os vetores (x, y, z) que satisfazem a equação 5x + y - 2z = 0. Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para W, ou seja, um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que possa gerar todo o espaço W.

Passo 2

Para encontrar uma base para W, precisamos primeiro entender como são os vetores que pertencem a W. A equação 5x + y - 2z = 0 nos dá uma relação entre as coordenadas x, y e z dos vetores em W.

Passo 3

Vamos resolver a equação para uma das variáveis em função das outras. Vamos isolar o y:
y = -5x + 2z
Isso significa que qualquer vetor em W pode ser escrito como (x, -5x + 2z, z).

Passo 4

Agora, vamos expressar esse vetor de uma forma que destaque as componentes livres. Podemos separar os termos que dependem de x e de z:
(x, -5x + 2z, z) = x(1, -5, 0) + z(0, 2, 1)

Passo 5

Observando a expressão acima, vemos que qualquer vetor em W é uma combinação linear dos vetores (1, -5, 0) e (0, 2, 1). Isso indica que esses dois vetores podem gerar todo o espaço W.

Passo 6

Para confirmar que esses vetores formam uma base, precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Como não há nenhum múltiplo escalar que transforme um vetor no outro, eles são de fato linearmente independentes.

Resposta

Uma base para W é , (1, -5, 0), (0, 2, 1) ,.

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