Sejam e matrizes de ordem . Sabendo que mostre que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos duas matrizes quadradas e de ordem que satisfazem . Nosso objetivo é mostrar que o determinante de é maior ou igual a zero, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar de alguns conceitos de álgebra linear, como propriedades de matrizes que comutam (quando ) e propriedades de determinantes.

Passo 2

Como , isso significa que as matrizes e comutam e, de fato, o produto de qualquer uma com a outra é a matriz nula. Essa propriedade nos é útil porque nos permite trabalhar com combinações lineares de e de forma mais simples.

Passo 3

Vamos analisar . Sabemos que o determinante de uma matriz é um número que nos dá informações sobre a invertibilidade da matriz e outras propriedades. Para encontrar , precisamos entender as características de e .

Passo 4

Uma propriedade importante dos determinantes é que, para matrizes que comutam, o determinante da soma não é simplesmente a soma dos determinantes. No entanto, podemos explorar a relação entre e para simplificar .

Passo 5

Como e , podemos considerar que e atuam em subespaços diferentes do espaço vetorial. Isso implica que os quadrados e também vão atuar nesses subespaços de forma independente.

Passo 6

Agora, vamos lembrar que o determinante de uma matriz é o produto dos seus autovalores. Se e têm autovalores reais não negativos (já que são quadrados), então a soma terá autovalores que também são não negativos.

Passo 7

Como todos os autovalores de são não negativos, o produto deles, que é o determinante, também será não negativo. Portanto, .

Resposta

Assim, mostramos que .

Exercícios relacionados

Determine o valor da constante para que a reta seja tangente elipse .
Em cada um dos itens abaixo, encontre a (menor) distância entre as retas não paralelas e e os pontos em que ela é atingida.
(ii) .
Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano .
(v) é equidistante dos pontos e e perpendicular ao segmento .
Determine a equação de cada seção cônica.
(a) Hipérbole de vértices e .
(b) Parábola de foco e diretriz .
© Elipse de vértices e focos .
(d) Hipérbole de vértices e assíntotas .