Sejam
e
matrizes de ordem
. Sabendo que
mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos duas matrizes quadradas
e
de ordem
que satisfazem
. Nosso objetivo é mostrar que o determinante de
é maior ou igual a zero, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar de alguns conceitos de álgebra linear, como propriedades de matrizes que comutam (quando
) e propriedades de determinantes.
Passo 2
Como
, isso significa que as matrizes
e
comutam e, de fato, o produto de qualquer uma com a outra é a matriz nula. Essa propriedade nos é útil porque nos permite trabalhar com combinações lineares de
e
de forma mais simples.
Passo 3
Vamos analisar
. Sabemos que o determinante de uma matriz é um número que nos dá informações sobre a invertibilidade da matriz e outras propriedades. Para encontrar
, precisamos entender as características de
e
.
Passo 4
Uma propriedade importante dos determinantes é que, para matrizes que comutam, o determinante da soma não é simplesmente a soma dos determinantes. No entanto, podemos explorar a relação entre
e
para simplificar
.
Passo 5
Como
e
, podemos considerar que
e
atuam em subespaços diferentes do espaço vetorial. Isso implica que os quadrados
e
também vão atuar nesses subespaços de forma independente.
Passo 6
Agora, vamos lembrar que o determinante de uma matriz é o produto dos seus autovalores. Se
e
têm autovalores reais não negativos (já que são quadrados), então a soma
terá autovalores que também são não negativos.
Passo 7
Como todos os autovalores de
são não negativos, o produto deles, que é o determinante, também será não negativo. Portanto,
.
Resposta
Assim, mostramos que
.