Determine o valor da constante
para que a reta
seja tangente
elipse
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar o valor da constante
de forma que a reta
seja tangente à elipse
. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com elipses e retas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de condição de tangência entre uma reta e uma elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a equação da reta na equação da elipse. A reta é dada por
. Vamos substituir
na equação da elipse:
Passo 3
Agora, vamos expandir o termo
:
Substituindo de volta na equação da elipse:
Passo 4
Vamos distribuir o 25 nos termos dentro do parêntese:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 5
Para que a reta seja tangente à elipse, essa equação quadrática em
deve ter exatamente uma solução. Isso acontece quando o discriminante
da equação quadrática é igual a zero. A fórmula do discriminante é:
Onde
,
e
.
Passo 6
Vamos calcular o discriminante:
Simplificando:
Explicando, multiplicamos 4 por
e
, e subtraímos do
.
Passo 7
Vamos expandir
:
Substituindo:
Passo 8
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Passo 9
Isolando
:
Passo 10
Finalmente, tirando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar
:
Simplificando a raiz:
Resposta
O valor da constante
é
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, encontre a (menor) distância entre as retas não paralelas
e
e os pontos em que ela é atingida.
(ii) .
(ii)
Considere a transformação linear
dada por:
Determine uma base para
e uma base para
.
Sejam
e
matrizes de ordem
. Sabendo que
mostre que
Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano
.
(v) é equidistante dos pontos
e
e perpendicular ao segmento
.
(v)