Determine o valor da constante m para que a reta y=m x+8 seja tangente gravea elipse 16 x^2+25 y^2=400.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar o valor da constante de forma que a reta seja tangente à elipse . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com elipses e retas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de condição de tangência entre uma reta e uma elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a equação da reta na equação da elipse. A reta é dada por 16x^2 + 25(mx + 8)^2 = 400 . Vamos substituir na equação da elipse:

Passo 3

Agora, vamos expandir o termo (m x + 8)^2 = m^2x^2 + 16m x + 64 :
16x^2 + 25(m^2x^2 + 16m x + 64) = 400
Substituindo de volta na equação da elipse:

Passo 4

Vamos distribuir o 25 nos termos dentro do parêntese:
16x^2 + 25m^2x^2 + 400m x + 1600 = 400
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
(16 + 25m^2)x^2 + 400m x + 1600 - 400 = 0
Simplificando:
(16 + 25m^2)x^2 + 400m x + 1200 = 0

Passo 5

Para que a reta seja tangente à elipse, essa equação quadrática em De deve ter exatamente uma solução. Isso acontece quando o discriminante da equação quadrática é igual a zero. A fórmula do discriminante é:
Onde , e .

Passo 6

Vamos calcular o discriminante:
De
Simplificando:
160000m^2 - 4800(16 + 25m^2) = 0
Explicando, multiplicamos 4 por e , e subtraímos do .

Passo 7

Vamos expandir 4800 times 16 = 76800 :
4800 times 25m^2 = 120000m^2
160000m^2 - 76800 - 120000m^2 = 0
Substituindo:

Passo 8

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
(160000m^2 - 120000m^2) - 76800 = 0
40000m^2 - 76800 = 0

Passo 9

Isolando 40000m^2 = 76800 :
m^2 = 7680040000 = 1.92

Passo 10

Finalmente, tirando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar m = pm raiz1.92 :
1.92 = 4825 Rightarrow raiz1.92 = raiz4825 = raiz485 = 4raiz35
Simplificando a raiz:

Resposta

O valor da constante é .

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