Determine o valor da constante para que a reta seja tangente elipse .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar o valor da constante de forma que a reta seja tangente à elipse . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com elipses e retas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de condição de tangência entre uma reta e uma elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a equação da reta na equação da elipse. A reta é dada por . Vamos substituir na equação da elipse:

Passo 3

Agora, vamos expandir o termo :
Substituindo de volta na equação da elipse:

Passo 4

Vamos distribuir o 25 nos termos dentro do parêntese:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 5

Para que a reta seja tangente à elipse, essa equação quadrática em deve ter exatamente uma solução. Isso acontece quando o discriminante da equação quadrática é igual a zero. A fórmula do discriminante é:
Onde , e .

Passo 6

Vamos calcular o discriminante:
Simplificando:
Explicando, multiplicamos 4 por e , e subtraímos do .

Passo 7

Vamos expandir :
Substituindo:

Passo 8

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:

Passo 9

Isolando :

Passo 10

Finalmente, tirando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar :
Simplificando a raiz:

Resposta

O valor da constante é .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, encontre a (menor) distância entre as retas não paralelas e e os pontos em que ela é atingida.
(ii) .
Considere a transformação linear dada por:
Determine uma base para e uma base para .
Sejam e matrizes de ordem . Sabendo que mostre que
Em cada um dos itens abaixo, encontre uma equação para o plano .
(v) é equidistante dos pontos e e perpendicular ao segmento .