Beleza, vamos lá! Você me deu um ponto e um plano . A gente precisa resolver quatro coisas:
a) Encontrar as equações paramétricas da reta que passa por e é perpendicular ao plano .
b) Descobrir a projeção ortogonal de sobre o plano .
c) Encontrar o ponto que é simétrico a em relação ao plano .
d) Calcular a distância do ponto até o plano .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores normais, equações de retas e planos, projeções e distância ponto-plano.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a): Encontrar as equações paramétricas da reta que passa por e é perpendicular ao plano .
Primeiro, sabemos que a direção da reta perpendicular ao plano é dada pelo vetor normal do plano. No caso, o vetor normal do plano é formado pelos coeficientes de , e na equação do plano. Então,
Como a reta passa por e tem a direção de , as equações paramétricas da reta são:
onde é o parâmetro.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): Encontrar a projeção ortogonal de P' = P - A xP + B yP + C zP + DA^2 + B^2 + C^2 n sobre o plano 2 cdot 5 + 1 cdot 2 + 1 cdot 3 - 3 = 10 + 2 + 3 - 3 = 12 .
A projeção ortogonal de um ponto 2^2 + 1^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6 sobre um plano P' = (5,2,3) - 126 (2,1,1) = (5,2,3) - 2(2,1,1) = (5-4, 2-2, 3-2) = (1,0,1) é o ponto no plano mais próximo de . Para encontrar , usamos a fórmula: