Dado o ponto P(5,2,3) e o plano pi: 2 x+y+z-3=0, determinar:
(a) equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular a pi;
(b) a projeção ortogonal de P sobre pi;
© o ponto P^prime simétrico de P em relação a pi;
(d) a distância de P até o plano pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um ponto e um plano . A gente precisa resolver quatro coisas:
a) Encontrar as equações paramétricas da reta que passa por e é perpendicular ao plano .
b) Descobrir a projeção ortogonal de sobre o plano .
c) Encontrar o ponto que é simétrico a em relação ao plano .
d) Calcular a distância do ponto até o plano .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores normais, equações de retas e planos, projeções e distância ponto-plano.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): Encontrar as equações paramétricas da reta que passa por n = (2, 1, 1) e é perpendicular ao plano x = 5 + 2t y = 2 + t z = 3 + t .
Primeiro, sabemos que a direção da reta perpendicular ao plano é dada pelo vetor normal do plano. No caso, o vetor normal do plano é formado pelos coeficientes de , e na equação do plano. Então,
Como a reta passa por e tem a direção de , as equações paramétricas da reta são:
onde é o parâmetro.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): Encontrar a projeção ortogonal de P' = P - A xP + B yP + C zP + DA^2 + B^2 + C^2 n sobre o plano 2 cdot 5 + 1 cdot 2 + 1 cdot 3 - 3 = 10 + 2 + 3 - 3 = 12 .
A projeção ortogonal de um ponto 2^2 + 1^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6 sobre um plano P' = (5,2,3) - 126 (2,1,1) = (5,2,3) - 2(2,1,1) = (5-4, 2-2, 3-2) = (1,0,1) é o ponto no plano mais próximo de . Para encontrar , usamos a fórmula:
Onde:
Calculando o numerador:
Denominador:
Então,

Passo 4

Vamos para a parte ©: Encontrar o ponto P'' = P + 2(P' - P) simétrico a P'' = (5,2,3) + 2((1,0,1) - (5,2,3)) = (5,2,3) + 2(-4,-2,-2) = (5-8, 2-4, 3-4) = (-3,-2,-1) em relação ao plano .
O ponto simétrico é obtido refletindo em relação à projeção . Ou seja,
Já temos , então:

Passo 5

Finalmente, a parte (d): Calcular a distância do ponto d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 até o plano d = |2 cdot 5 + 1 cdot 2 + 1 cdot 3 - 3|raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = |10 + 2 + 3 - 3|raiz4 + 1 + 1 = 12raiz6 = 2 raiz6 .
A fórmula para a distância de um ponto até o plano é:
Aplicando os valores:

Resposta

a) As equações paramétricas da reta são:
x = 5 + 2t y = 2 + t z = 3 + t
b) A projeção ortogonal de sobre é .
c) O ponto simétrico de em relação a é .
d) A distância de até o plano é unidades.

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