Em cada um dos itens abaixo, encontre a (menor) distância entre as retas não paralelas r e s e os pontos em que ela é atingida.
(ii) r:(x, y, z)=(7,5,6)+t(-3,-1,-2)(t in R), s:(x, y, z)=(2,3,-1)+t(1,0,0)(t in R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a menor distância entre duas retas não paralelas no espaço tridimensional, além dos pontos onde essa distância ocorre. Aqui, trabalharemos com geometria espacial, especificamente com o cálculo da distância entre retas. Para resolver, vamos precisar entender como determinar a distância entre retas e encontrar os pontos correspondentes onde essa distância é atingida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas retas dadas:
  • Reta : , onde
  • Reta : , onde
Aqui, e são pontos pelas quais passam as retas e , respectivamente, e e são os vetores diretores das retas.

Passo 3

Para encontrar a menor distância entre as retas D = |dr times ds cdot Ps Pr||dr times ds| e , usamos a fórmula da distância entre duas retas no espaço:
Onde:
  • e são os vetores diretores das retas e
  • é o vetor que vai de um ponto na reta para um ponto na reta
  • representa o produto vetorial
  • representa o produto escalar
Vamos identificar cada parte dessa fórmula com nossos dados.

Passo 4

Primeiro, encontramos os vetores diretores:
dr = (-3, -1, -2)
ds = (1, 0, 0)
Em seguida, escolhemos os pontos das retas Pr = (7, 5, 6) e Ps = (2, 3, -1) :
Ps Pr = Pr - Ps = (7-2, 5-3, 6-(-1)) = (5, 2, 7)
Agora, calculamos o vetor :

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial dr times ds = i & j & k -3 & -1 & -2 1 & 0 & 0 = i( (-1)(0) - (-2)(0) ) - j( (-3)(0) - (-2)(1) ) + k( (-3)(0) - (-1)(1) ) :
= i(0 - 0) - j(0 - (-2)) + k(0 - (-1)) = (0, 2, 1)
|dr times ds| = raiz0^2 + 2^2 + 1^2 = raiz0 + 4 + 1 = raiz5
Agora, calculamos a magnitude desse vetor:

Passo 6

Em seguida, calculamos o produto escalar (0, 2, 1) cdot (5, 2, 7) = (0 times 5) + (2 times 2) + (1 times 7) = 0 + 4 + 7 = 11 :
O valor absoluto desse produto escalar é 11.

Passo 7

Agora, aplicamos os valores na fórmula da distância:
D = |dr times ds cdot Ps Pr||dr times ds| = 11raiz5 = 11raiz55
Portanto, a menor distância entre as retas e é unidades.

Resposta

A menor distância entre as retas e é unidades, atingida nos pontos na reta e na reta .

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