Considere as retas r: X=(1,0,1)+lambda(0,1,2)(lambda in R) e s: X=(0,0,1)+lambda(1,1,1)(lambda in R). Mostre que r e s são retas reversas. Encontre o ponto da reta s mais próximo do ponto A=(1,0,1). Encontre dois pontos P in r e Q in s cuja distância seja a menor possível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas retas no espaço tridimensional e pede para mostrar que elas são retas reversas, além de encontrar alguns pontos específicos relacionados a elas. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica no Espaço, e vamos precisar usar conceitos como equações de retas no espaço, vetor diretor e distância entre pontos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são retas reversas. Duas retas são reversas se elas não são paralelas e não se interceptam, ou seja, estão em planos diferentes. Para verificar isso, vamos comparar os vetores diretores das retas e ver se elas são paralelas ou não.

Passo 3

As retas são dadas por:
  • Reta r:
  • Reta s:
Os vetores diretores são:
  • Para r:
  • Para s:

Passo 4

Vamos verificar se os vetores diretores são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo do outro. Aqui, vemos que e não são múltiplos um do outro. Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 5

Agora, vamos verificar se as retas se interceptam. Para isso, igualamos as equações paramétricas e tentamos encontrar valores de (1,0,1) + lambda(0,1,2) = (0,0,1) + mu(1,1,1) e 1 = mu 0 + lambda cdot 1 = mu cdot 1 1 + lambda cdot 2 = 1 + mu cdot 1 que satisfaçam:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação:
  • Da segunda equação:
  • Da terceira equação: , o que não é verdadeiro.
Como não há solução, as retas não se interceptam.

Passo 7

Como as retas não são paralelas e não se interceptam, concluímos que elas são retas reversas.

Passo 8

Agora, vamos encontrar o ponto da reta s que está mais próximo do ponto P = s0 + (A - s0) cdot ds|ds|^2 ds . Para isso, utilizamos a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço.
A fórmula para encontrar o ponto mais próximo na reta s de um ponto é:
onde e .

Passo 9

Calculando P = (0,0,1) + 13(1,1,1) = ( 13, 13, 43 ) .
O produto escalar .
A norma de ao quadrado é .
Então, o ponto mais próximo é:

Passo 10

Por fim, queremos encontrar dois pontos e cuja distância seja a menor possível. Isso ocorre quando o segmento é perpendicular a ambas as retas r e s.
Podemos resolver isso usando vetores e sistemas de equações, mas para simplificar, vamos encontrar os parâmetros e que minimizam a distância entre e .

Passo 11

Depois de resolver o sistema, encontramos que:
  • na reta r:
  • na reta s:
A distância mínima entre r e s é, portanto, a distância entre esses dois pontos.

Resposta

As retas r e s são retas reversas. O ponto da reta s mais próximo de A = (1,0,1) é . Os pontos e que minimizam a distância são e .

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