Considere as retas e . Mostre que e são retas reversas. Encontre o ponto da reta mais próximo do ponto . Encontre dois pontos e cuja distância seja a menor possível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas retas no espaço tridimensional e pede para mostrar que elas são retas reversas, além de encontrar alguns pontos específicos relacionados a elas. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica no Espaço, e vamos precisar usar conceitos como equações de retas no espaço, vetor diretor e distância entre pontos e retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são retas reversas. Duas retas são reversas se elas não são paralelas e não se interceptam, ou seja, estão em planos diferentes. Para verificar isso, vamos comparar os vetores diretores das retas e ver se elas são paralelas ou não.
Passo 3
As retas são dadas por:
Reta r:
Reta s:
Os vetores diretores são:
Para r:
Para s:
Passo 4
Vamos verificar se os vetores diretores são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo do outro. Aqui, vemos que e não são múltiplos um do outro. Portanto, as retas não são paralelas.
Passo 5
Agora, vamos verificar se as retas se interceptam. Para isso, igualamos as equações paramétricas e tentamos encontrar valores de e que satisfaçam:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação: → , o que não é verdadeiro.
Como não há solução, as retas não se interceptam.
Passo 7
Como as retas não são paralelas e não se interceptam, concluímos que elas são retas reversas.
Passo 8
Agora, vamos encontrar o ponto da reta s que está mais próximo do ponto . Para isso, utilizamos a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço.
A fórmula para encontrar o ponto mais próximo na reta s de um ponto é:
onde e .
Passo 9
Calculando .
O produto escalar .
A norma de ao quadrado é .
Então, o ponto mais próximo é:
Passo 10
Por fim, queremos encontrar dois pontos e cuja distância seja a menor possível. Isso ocorre quando o segmento é perpendicular a ambas as retas r e s.
Podemos resolver isso usando vetores e sistemas de equações, mas para simplificar, vamos encontrar os parâmetros e que minimizam a distância entre e .
Passo 11
Depois de resolver o sistema, encontramos que:
na reta r:
na reta s:
A distância mínima entre r e s é, portanto, a distância entre esses dois pontos.
Resposta
As retas r e s são retas reversas. O ponto da reta s mais próximo de A = (1,0,1) é . Os pontos e que minimizam a distância são e .