Considere a transformação linear T: R^3 R^2 dada por:
T(x, y, z)=(x-y-z, 2 z-x)
Determine uma base para Ker(T) e uma base para Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para o núcleo (Ker(T)) e para a imagem (Im(T)) da transformação linear definida por . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistema de equações lineares e espaço vetorial, para chegar às soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de x - y - z = 0 2z - x = 0 , ou seja, todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Isso significa resolver o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação, podemos expressar 2z - x = 0 Rightarrow x = 2z em termos de 2z - y - z = 0 Rightarrow z - y = 0 Rightarrow y = z :
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 4

Então, todas as soluções do sistema podem ser expressas em termos de x = 2t, y = t, z = t . Vamos parametrizar com (x, y, z) = t(2, 1, 1) , onde é um escalar real. Assim:
Podemos escrever o vetor solução como:
Isso mostra que o núcleo de é formado por todos os múltiplos do vetor .

Passo 5

Agora, vamos determinar uma base para o núcleo de . Como todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar de , esse vetor sozinho já forma uma base para Ker(T).

Passo 6

Passando para a imagem de T(x, y, z) = (x - y - z, 2z - x) , queremos encontrar todos os vetores em que podem ser escritos como . Observando a definição de :
Podemos expressar isso como uma combinação linear dos vetores de entrada.

Passo 7

Para identificar a imagem, podemos considerar os “geradores” da transformação. Observando as expressões:
u1 = x - y - z u2 = 2z - x
Podemos reescrever isso em termos das variáveis livres.

Passo 8

Outra maneira eficiente é construir uma matriz associada à transformação A = 1 & -1 & -1 -1 & 0 & 2 e determinar o espaço coluna. A matriz de é:
A imagem de é o espaço coluna dessa matriz.

Passo 9

Vamos verificar a independência linear das colunas da matriz 1 -1 . As colunas são -1 0 , -1 2 e .
Observamos que nenhuma dessas colunas pode ser escrita como combinação linear das outras, o que significa que as colunas são linearmente independentes.

Passo 10

Portanto, os vetores 1 -1 e -1 2 formam uma base para a imagem de , já que eles são linearmente independentes e geram todo o espaço imagem.

Resposta

Uma base para 1 -1 é -1 2 e uma base para é .

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