Considere a transformação linear
dada por:
Determine uma base para
e uma base para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para o núcleo (Ker(T)) e para a imagem (Im(T)) da transformação linear
definida por
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistema de equações lineares e espaço vetorial, para chegar às soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de
, ou seja, todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Isso significa resolver o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação, podemos expressar
em termos de
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 4
Então, todas as soluções do sistema podem ser expressas em termos de
. Vamos parametrizar com
, onde
é um escalar real. Assim:
Podemos escrever o vetor solução como:
Isso mostra que o núcleo de
é formado por todos os múltiplos do vetor
.
Passo 5
Agora, vamos determinar uma base para o núcleo de
. Como todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar de
, esse vetor sozinho já forma uma base para Ker(T).
Passo 6
Passando para a imagem de
, queremos encontrar todos os vetores em
que podem ser escritos como
. Observando a definição de
:
Podemos expressar isso como uma combinação linear dos vetores de entrada.
Passo 7
Para identificar a imagem, podemos considerar os “geradores” da transformação. Observando as expressões:
Podemos reescrever isso em termos das variáveis livres.
Passo 8
Outra maneira eficiente é construir uma matriz associada à transformação
e determinar o espaço coluna. A matriz de
é:
A imagem de
é o espaço coluna dessa matriz.
Passo 9
Vamos verificar a independência linear das colunas da matriz
. As colunas são
,
e
.
Observamos que nenhuma dessas colunas pode ser escrita como combinação linear das outras, o que significa que as colunas são linearmente independentes.
Passo 10
Portanto, os vetores
e
formam uma base para a imagem de
, já que eles são linearmente independentes e geram todo o espaço imagem.
Resposta
Uma base para
é
e uma base para
é
.