Considere a transformação linear dada por:
Determine uma base para e uma base para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para o núcleo (Ker(T)) e para a imagem (Im(T)) da transformação linear definida por . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistema de equações lineares e espaço vetorial, para chegar às soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de , ou seja, todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Isso significa resolver o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação, podemos expressar em termos de :
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 4

Então, todas as soluções do sistema podem ser expressas em termos de . Vamos parametrizar com , onde é um escalar real. Assim:
Podemos escrever o vetor solução como:
Isso mostra que o núcleo de é formado por todos os múltiplos do vetor .

Passo 5

Agora, vamos determinar uma base para o núcleo de . Como todo vetor no núcleo é um múltiplo escalar de , esse vetor sozinho já forma uma base para Ker(T).

Passo 6

Passando para a imagem de , queremos encontrar todos os vetores em que podem ser escritos como . Observando a definição de :
Podemos expressar isso como uma combinação linear dos vetores de entrada.

Passo 7

Para identificar a imagem, podemos considerar os “geradores” da transformação. Observando as expressões:
Podemos reescrever isso em termos das variáveis livres.

Passo 8

Outra maneira eficiente é construir uma matriz associada à transformação e determinar o espaço coluna. A matriz de é:
A imagem de é o espaço coluna dessa matriz.

Passo 9

Vamos verificar a independência linear das colunas da matriz . As colunas são , e .
Observamos que nenhuma dessas colunas pode ser escrita como combinação linear das outras, o que significa que as colunas são linearmente independentes.

Passo 10

Portanto, os vetores e formam uma base para a imagem de , já que eles são linearmente independentes e geram todo o espaço imagem.

Resposta

Uma base para é e uma base para é .

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Considere as retas e . Mostre que e são retas reversas. Encontre o ponto da reta mais próximo do ponto . Encontre dois pontos e cuja distância seja a menor possível.
Esboce cada uma das parábolas, indicando as coordenadas do foco e a equação da diretriz.
(a)
(d)
(g)
(b)
(e)
©
(f)
(h)
Em cada um dos itens abaixo, encontre a (menor) distância entre as retas não paralelas e e os pontos em que ela é atingida.
(ii) .
Determine o valor da constante para que a reta seja tangente elipse .