Em cada um dos itens abaixo, encontre a (menor) distância entre as retas não paralelas e e os pontos em que ela é atingida.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a menor distância entre duas retas que não são paralelas, chamadas de e , e também os pontos onde essa distância ocorre. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e vetores. Vamos precisar identificar as direções das retas, encontrar um vetor que seja perpendicular a ambas e, com isso, calcular a distância mínima.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . A reta é dada por , então o vetor diretor de é . A reta é dada por , então o vetor diretor de é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos os vetores diretores e . Para isso, usamos o produto vetorial. Vamos calcular :
Então, o vetor perpendicular é n = (1, 4, -5).
Passo 4
A menor distância entre as retas é dada pela fórmula:
d = |n cdot (a2 - a1)||n|
Onde a1 é um ponto na reta r e a2 é um ponto na reta s. Vamos escolher a1 = (-2, 3, 1) e a2 = (-1, 2, 3). Primeiro, calculamos a2 - a1:
a2 - a1 = (-1 - (-2), 2 - 3, 3 - 1) = (1, -1, 2)
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar n cdot (a2 - a1):
A menor distância entre as retas r e s é aproximadamente 2.006 unidades, atingida nos pontos correspondentes às posições mínimas encontradas ao longo das retas.