Em cada um dos itens abaixo, encontre a (menor) distância entre as retas não paralelas r e s e os pontos em que ela é atingida.
(i) r:(x, y, z)=(-2,3,1)+t(-3,2,1)(t in R), s:(x, y, z)=(-1,2,3)+t(1,1,1)(t in R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a menor distância entre duas retas que não são paralelas, chamadas de r e s, e também os pontos onde essa distância ocorre. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e vetores. Vamos precisar identificar as direções das retas, encontrar um vetor que seja perpendicular a ambas e, com isso, calcular a distância mínima.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r e s. A reta r é dada por (x, y, z) = (-2, 3, 1) + t(-3, 2, 1), então o vetor diretor de r é u = (-3, 2, 1). A reta s é dada por (x, y, z) = (-1, 2, 3) + t(1, 1, 1), então o vetor diretor de s é v = (1, 1, 1).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos os vetores diretores u e v. Para isso, usamos o produto vetorial. Vamos calcular u times v:
u times v = i & j & k -3 & 2 & 1 1 & 1 & 1 = i(2*1 - 1*1) - j(-3*1 - 1*1) + k(-3*1 - 2*1) = i(2 - 1) - j(-3 - 1) + k(-3 - 2) = i(1) - j(-4) + k(-5) = (1, 4, -5)
Então, o vetor perpendicular é n = (1, 4, -5).

Passo 4

A menor distância entre as retas é dada pela fórmula:
d = |n cdot (a2 - a1)||n|
Onde a1 é um ponto na reta r e a2 é um ponto na reta s. Vamos escolher a1 = (-2, 3, 1) e a2 = (-1, 2, 3). Primeiro, calculamos a2 - a1:
a2 - a1 = (-1 - (-2), 2 - 3, 3 - 1) = (1, -1, 2)

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar n cdot (a2 - a1):
n cdot (a2 - a1) = 1*1 + 4*(-1) + (-5)*2 = 1 - 4 - 10 = -13
Pegamos o valor absoluto:
|n cdot (a2 - a1)| = |-13| = 13

Passo 6

Agora, calculamos o módulo de n:
|n| = raiz1^2 + 4^2 + (-5)^2 = raiz1 + 16 + 25 = raiz42

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 13raiz42 approx 136.48 approx 2.006

Resposta

A menor distância entre as retas r e s é aproximadamente 2.006 unidades, atingida nos pontos correspondentes às posições mínimas encontradas ao longo das retas.

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