Em cada um dos itens abaixo, encontre a (menor) distância entre as retas não paralelas e e os pontos em que ela é atingida.
(i) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a menor distância entre duas retas que não são paralelas, chamadas de e , e também os pontos onde essa distância ocorre. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e vetores. Vamos precisar identificar as direções das retas, encontrar um vetor que seja perpendicular a ambas e, com isso, calcular a distância mínima.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . A reta é dada por , então o vetor diretor de é . A reta é dada por , então o vetor diretor de é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos os vetores diretores e . Para isso, usamos o produto vetorial. Vamos calcular :
Então, o vetor perpendicular é .
Passo 4
A menor distância entre as retas é dada pela fórmula:
Onde é um ponto na reta e é um ponto na reta . Vamos escolher e . Primeiro, calculamos :
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar :
Pegamos o valor absoluto:
Passo 6
Agora, calculamos o módulo de :
Passo 7
Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
Resposta
A menor distância entre as retas e é aproximadamente unidades, atingida nos pontos correspondentes às posições mínimas encontradas ao longo das retas.