Suponha que
tenha o produto interno euclidiano. Use o processo de Gram-Schmidt para transformar a base de vetores
numa base ortonormal, onde
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão quer. A gente tem três vetores no espaço tridimensional
:
,
e
. A matéria que vamos usar aqui é o processo de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer de vetores em uma base ortonormal. Isso significa que os vetores resultantes vão ser perpendiculares entre si (orto) e com comprimento 1 (normal). Para isso, vamos precisar calcular projeções e normais usando produtos internos.
Passo 2
Primeiro, vamos começar normalizando o primeiro vetor
. A normalização é simplesmente dividir o vetor pelo seu comprimento (ou norma). A fórmula para a norma de um vetor
é:
Então, para
:
Agora, o primeiro vetor ortonormal
é:
Passo 3
Agora, vamos trabalhar com o segundo vetor
. Precisamos primeiro torná-lo ortogonal em relação a
. Para isso, calculamos a projeção de
em
usando o produto interno:
Calculando o produto interno
:
Então, a projeção é zero. Isso significa que
já é ortogonal a
. Agora, basta normalizar
para obter
:
Passo 4
Agora, vamos para o terceiro vetor
. Precisamos torná-lo ortogonal em relação a ambos
e
. Primeiro, calculamos a projeção de
em
:
Calculando
:
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de
:
Passo 5
Agora, precisamos tornar
ortogonal a
. Calculamos a projeção de
em
:
Calculando
:
Então,
Subtraímos essa projeção de
para obter
:
Calculando cada componente:
Então,
Passo 6
Agora, vamos normalizar
para obter
. Primeiro, calculamos a norma de
:
Então,
Simplificando:
Resposta
A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:
Exercícios relacionados
Para que valores de
a transformação no
, dada por
, é linear?
(g) Determinar as equações vetorial, simétrica e reduzida (para a reduzida considere
a variável independente) da reta determinada pelos pontos
e
Verificar se o ponto
pertence à reta encontrada no item anterior deste exercício (pode usar qualquer formato da reta).
Em cada um dos itens abaixo, encontre a (menor) distância entre as retas não paralelas
e
e os pontos em que ela é atingida.
(i) .
(i)
Dada a elipse
, esboce seu gráfico e determine:
(a) o comprimento do semieixo maior
© as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices
(a) o comprimento do semieixo maior
© as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices