Suponha que R^3 tenha o produto interno euclidiano. Use o processo de Gram-Schmidt para transformar a base de vetores u1, u2, u3 numa base ortonormal, onde u1=(1,1,1), u2= (-1,1,0), u3=(1,2,1)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão quer. A gente tem três vetores no espaço tridimensional R^3: u1 = (1,1,1), u2 = (-1,1,0) e u3 = (1,2,1). A matéria que vamos usar aqui é o processo de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer de vetores em uma base ortonormal. Isso significa que os vetores resultantes vão ser perpendiculares entre si (orto) e com comprimento 1 (normal). Para isso, vamos precisar calcular projeções e normais usando produtos internos.

Passo 2

Primeiro, vamos começar normalizando o primeiro vetor u1. A normalização é simplesmente dividir o vetor pelo seu comprimento (ou norma). A fórmula para a norma de um vetor v = (v1, v2, v3) é:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
Então, para u1:
|u1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Agora, o primeiro vetor ortonormal e1 é:
e1 = u1|u1| = (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3)

Passo 3

Agora, vamos trabalhar com o segundo vetor u2 = (-1,1,0). Precisamos primeiro torná-lo ortogonal em relação a e1. Para isso, calculamos a projeção de u2 em e1 usando o produto interno:
proje1 u2 = ( u2 cdot e1e1 cdot e1 ) e1
Calculando o produto interno u2 cdot e1:
u2 cdot e1 = (-1)(1raiz3) + 1(1raiz3) + 0(1raiz3) = -1 + 1 + 0raiz3 = 0
Então, a projeção é zero. Isso significa que u2 já é ortogonal a e1. Agora, basta normalizar u2 para obter e2:
|u2| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2
e2 = u2|u2| = ( -1raiz2, 1raiz2, 0 )

Passo 4

Agora, vamos para o terceiro vetor u3 = (1,2,1). Precisamos torná-lo ortogonal em relação a ambos e1 e e2. Primeiro, calculamos a projeção de u3 em e1:
proje1 u3 = ( u3 cdot e1e1 cdot e1 ) e1
Calculando u3 cdot e1:
u3 cdot e1 = 1(1raiz3) + 2(1raiz3) + 1(1raiz3) = 1 + 2 + 1raiz3 = 4raiz3
Então,
proje1 u3 = 4raiz3 cdot 1raiz3 cdot (1,1,1) = 43(1,1,1)
Agora, subtraímos essa projeção de u3:
u3' = u3 - proje1 u3 = (1,2,1) - (43, 43, 43) = (1 - 43, 2 - 43, 1 - 43) = (-13, 23, -13)

Passo 5

Agora, precisamos tornar u3' ortogonal a e2. Calculamos a projeção de u3' em e2:
proje2 u3' = ( u3' cdot e2e2 cdot e2 ) e2
Calculando u3' cdot e2:
u3' cdot e2 = (-13)(-1raiz2) + (23)(1raiz2) + (-13)(0) = 13raiz2 + 23raiz2 + 0 = 33raiz2 = 1raiz2
Então,
proje2 u3' = 1raiz2 cdot -1raiz2 cdot (-1,1,0) = 12(-1,1,0) = (-12, 12, 0)
Subtraímos essa projeção de u3' para obter u3'':
u3'' = u3' - proje2 u3' = (-13, 23, -13) - (-12, 12, 0) = (-13 + 12, 23 - 12, -13 - 0)
Calculando cada componente:
-13 + 12 = -2 + 36 = 16
23 - 12 = 4 - 36 = 16
-13 = -13
Então,
u3'' = (16, 16, -13)

Passo 6

Agora, vamos normalizar u3'' para obter e3. Primeiro, calculamos a norma de u3'':
|u3''| = raiz(16)^2 + (16)^2 + (-13)^2 = raiz136 + 136 + 19 = raiz1 + 1 + 436 = raiz636 = raiz16 = 1raiz6
Então,
e3 = u3''|u3''| = ( 16 cdot raiz6, 16 cdot raiz6, -13 cdot raiz6 ) = ( raiz66, raiz66, -raiz63 )
Simplificando:
e3 = ( raiz66, raiz66, -raiz63 )

Resposta

A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:
(1raiz3, 1raiz3, 1raiz3), (-1raiz2, 1raiz2, 0), (raiz66, raiz66, -raiz63)

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