Suponha que tenha o produto interno euclidiano. Use o processo de Gram-Schmidt para transformar a base de vetores numa base ortonormal, onde

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão quer. A gente tem três vetores no espaço tridimensional : , e . A matéria que vamos usar aqui é o processo de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer de vetores em uma base ortonormal. Isso significa que os vetores resultantes vão ser perpendiculares entre si (orto) e com comprimento 1 (normal). Para isso, vamos precisar calcular projeções e normais usando produtos internos.

Passo 2

Primeiro, vamos começar normalizando o primeiro vetor . A normalização é simplesmente dividir o vetor pelo seu comprimento (ou norma). A fórmula para a norma de um vetor é:
Então, para :
Agora, o primeiro vetor ortonormal é:

Passo 3

Agora, vamos trabalhar com o segundo vetor . Precisamos primeiro torná-lo ortogonal em relação a . Para isso, calculamos a projeção de em usando o produto interno:
Calculando o produto interno :
Então, a projeção é zero. Isso significa que já é ortogonal a . Agora, basta normalizar para obter :

Passo 4

Agora, vamos para o terceiro vetor . Precisamos torná-lo ortogonal em relação a ambos e . Primeiro, calculamos a projeção de em :
Calculando :
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de :

Passo 5

Agora, precisamos tornar ortogonal a . Calculamos a projeção de em :
Calculando :
Então,
Subtraímos essa projeção de para obter :
Calculando cada componente:
Então,

Passo 6

Agora, vamos normalizar para obter . Primeiro, calculamos a norma de :
Então,
Simplificando:

Resposta

A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:

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Verificar se o ponto pertence à reta encontrada no item anterior deste exercício (pode usar qualquer formato da reta).
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(i) .
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(a) o comprimento do semieixo maior
© as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices