Dada a elipse 225 x^2+289 y^2=65025, esboce seu gráfico e determine:
(a) o comprimento do semieixo maior
© as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semieixo menor
(d) as coordenadas dos vértices

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver essa questão sobre elipses. A gente tem a equação . Vamos precisar lembrar como está a forma padrão da equação de uma elipse e identificar os semieixos, focos e vértices a partir daí.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão, que é 225x^265025 + 289y^265025 = 1 Rightarrow x^2289 + y^2225 = 1 . Para isso, a gente divide toda a equação por 65025:

Passo 3

Agora, identificamos A = raiz289 = 17 e B = raiz225 = 15 e . Tirando a raiz quadrada, temos:
Como , o semieixo maior é o que está com .

Passo 4

Para achar as coordenadas dos focos, usamos a fórmula c = raiz289 - 225 = raiz64 = 8 :
Como o semieixo maior está no eixo , os focos ficam nas coordenadas , ou seja, .

Passo 5

Os vértices da elipse são os pontos mais distantes do centro ao longo do semieixo maior. Então, eles ficam nas coordenadas (pm 17, 0) ou seja, (17, 0) e (-17, 0) :

Resposta

(a) O comprimento do semieixo maior é .
(b) O comprimento do semieixo menor é .
© As coordenadas dos focos são e .
(d) As coordenadas dos vértices são e .

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