Para que valores de
a transformação no
, dada por
, é linear?
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre transformações lineares no espaço tridimensional. Precisamos descobrir para quais valores de
a transformação
é linear. Para isso, vamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear.
Passo 2
Uma transformação
é linear se satisfaz duas propriedades:
- Adição:
para quaisquer vetores . - Homogeneidade:
para qualquer escalar .
Passo 3
Também podemos verificar se
preserva a origem, ou seja, se
. Se
, então
não é linear.
Passo 4
Vamos aplicar
ao vetor zero
:
Para que
, precisamos que
.
Passo 5
Resolvendo
:
Portanto, quando
, temos
, respeitando a conservação da origem.
Passo 6
Vamos verificar as propriedades de adição e homogeneidade para
.
Para a adição:
Para a homogeneidade:
Assim, ambas as propriedades são satisfeitas quando
.
Resposta
A transformação
é linear se e somente se
.
Exercícios relacionados
(g) Determinar as equações vetorial, simétrica e reduzida (para a reduzida considere
a variável independente) da reta determinada pelos pontos
e
Verificar se o ponto
pertence à reta encontrada no item anterior deste exercício (pode usar qualquer formato da reta).
Construa explicitamente a transformação linear
, tal que
e
Suponha que
tenha o produto interno euclidiano. Use o processo de Gram-Schmidt para transformar a base de vetores
numa base ortonormal, onde
Em cada um dos itens abaixo, encontre a (menor) distância entre as retas não paralelas
e
e os pontos em que ela é atingida.
(i) .
(i)