Para que valores de a transformação no , dada por , é linear?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre transformações lineares no espaço tridimensional. Precisamos descobrir para quais valores de a transformação é linear. Para isso, vamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear.

Passo 2

Uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. Adição: para quaisquer vetores .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar .

Passo 3

Também podemos verificar se preserva a origem, ou seja, se . Se , então não é linear.

Passo 4

Vamos aplicar ao vetor zero :
Para que , precisamos que .

Passo 5

Resolvendo :
Portanto, quando , temos , respeitando a conservação da origem.

Passo 6

Vamos verificar as propriedades de adição e homogeneidade para .
Para a adição:
Para a homogeneidade:
Assim, ambas as propriedades são satisfeitas quando .

Resposta

A transformação é linear se e somente se .

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