Para que valores de k in R a transformação no R^3, dada por T(x, y, z)=(2 x+3 k, y, 3 z), é linear?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre transformações lineares no espaço tridimensional. Precisamos descobrir para quais valores de a transformação é linear. Para isso, vamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear.

Passo 2

Uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. Adição: para quaisquer vetores .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar .

Passo 3

Também podemos verificar se preserva a origem, ou seja, se . Se , então não é linear.

Passo 4

Vamos aplicar T(0, 0, 0) = (2 cdot 0 + 3k, 0, 3 cdot 0) = (3k, 0, 0) ao vetor zero :
Para que , precisamos que .

Passo 5

Resolvendo k = 0 :
Portanto, quando , temos , respeitando a conservação da origem.

Passo 6

Vamos verificar as propriedades de adição e homogeneidade para T(u + v) = T(u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) = (2(u1 + v1), u2 + v2, 3(u3 + v3)) .
Para a adição:
= (2u1 + 2v1, u2 + v2, 3u3 + 3v3) = T(u) + T(v)
T(cu) = T(cu1, cu2, cu3) = (2cu1, cu2, 3cu3) = c(2u1, u2, 3u3) = cT(u)
Para a homogeneidade:
Assim, ambas as propriedades são satisfeitas quando .

Resposta

A transformação é linear se e somente se .

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