Considere o sistema vibratório descrito pelo problema de valor inicial:
a) Determine a solução
deste problema, para
.
b) Faça o gráfico da solução
, em função de
, para
,
. Compare os resultados com os do problema anterior, ou seja, descreva o efeito das condições iniciais não nulas.
b) Faça o gráfico da solução
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que descreve um sistema vibratório. A equação dada é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem com condições iniciais. Precisamos encontrar a função
que descreve o movimento do sistema para
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito da equação é igual a zero:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é uma função trigonométrica, vamos supor que a solução particular tem a forma:
Vamos derivar
duas vezes:
Substituindo
e
na equação original:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes das funções cosseno e seno devem ser iguais nos dois lados. Então, temos:
Como
,
, então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Isso nos dá:
Simplificando:
Agora, derivamos
para aplicar a condição
:
Aplicando
:
Então,
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando
cresce.
,
A posição do objeto em um determinado sistema-massa mola satisfaz o seguinte problema de valor inicial:
a) Determine a solução deste problema de valor inicial.
b) No mesmo sistema de coordenadas, com no eixo horizontal, faça os gráficos de
e de
.
c) Faça um gráfico paramétrico de e
, sendo
o parâmetro, isto é, para cada instante de tempo
, coloque no eixo horizontal o valor de
e no eixo vertical o valor de
correspondente. Este tipo de gráfico é denominado
b) No mesmo sistema de coordenadas, com
c) Faça um gráfico paramétrico de
Considere um sistema vibratório descrito pelo problema de valor inicial:
a) Determine a parte estacionária da solução deste problema.
b) Determine a amplitude da parte estacionária da solução, em função de
.
c) Faça o gráfico de em função de
.
d) Determine o valor máximo de e a frequência
na qual ele ocorre.
b) Determine a amplitude
c) Faça o gráfico de
d) Determine o valor máximo de