Considere o sistema vibratório descrito pelo problema de valor inicial:
x'' + x = 3 cos(ω t), x(0) = 1, x'(0) = 1
a) Determine a solução x(t) deste problema, para ω != 1.
b) Faça o gráfico da solução x(t), em função de t, para omega = 0,7, ω = 0,8 , ω = 0,9. Compare os resultados com os do problema anterior, ou seja, descreva o efeito das condições iniciais não nulas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que descreve um sistema vibratório. A equação dada é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem com condições iniciais. Precisamos encontrar a função que descreve o movimento do sistema para .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito da equação é igual a zero:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é uma função trigonométrica, vamos supor que a solução particular tem a forma:
Vamos derivar duas vezes:
Substituindo e na equação original:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes das funções cosseno e seno devem ser iguais nos dois lados. Então, temos:
Como , , então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, aplicamos :
Isso nos dá:
Simplificando:
Agora, derivamos para aplicar a condição :
Aplicando :
Então, .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados