Considere o sistema vibratório descrito pelo problema de valor inicial:
a) Determine a solução deste problema, para .
b) Faça o gráfico da solução , em função de , para , . Compare os resultados com os do problema anterior, ou seja, descreva o efeito das condições iniciais não nulas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que descreve um sistema vibratório. A equação dada é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem com condições iniciais. Precisamos encontrar a função que descreve o movimento do sistema para .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando o lado direito da equação é igual a zero:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é uma função trigonométrica, vamos supor que a solução particular tem a forma:
Vamos derivar duas vezes:
Substituindo e na equação original:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes das funções cosseno e seno devem ser iguais nos dois lados. Então, temos:
Como , , então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, aplicamos :
Isso nos dá:
Simplificando:
Agora, derivamos para aplicar a condição :
Aplicando :
Então, .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando cresce.
,
A posição do objeto em um determinado sistema-massa mola satisfaz o seguinte problema de valor inicial:
a) Determine a solução deste problema de valor inicial.
b) No mesmo sistema de coordenadas, com no eixo horizontal, faça os gráficos de e de .
c) Faça um gráfico paramétrico de e , sendo o parâmetro, isto é, para cada instante de tempo , coloque no eixo horizontal o valor de e no eixo vertical o valor de correspondente. Este tipo de gráfico é denominado
Considere um sistema vibratório descrito pelo problema de valor inicial:
a) Determine a parte estacionária da solução deste problema.
b) Determine a amplitude da parte estacionária da solução, em função de .
c) Faça o gráfico de em função de .
d) Determine o valor máximo de e a frequência na qual ele ocorre.