Resolva os sistemas lineares A x=b abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan:
(f) lx1+2 x2+x3=0 3 x1+6 x2+3 x3+x4=0 2 x1+4 x2+2 x3+x4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a eliminação de Gauss-Jordan! O enunciado nos dá um sistema com quatro variáveis ( x1, x2, x3, x4) e três equações. Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente resolução de sistemas lineares usando eliminação de Gauss-Jordan.
O que vamos precisar:
  • Montar a matriz aumentada do sistema.
  • Realizar operações nas linhas para transformar a matriz em forma escalonada reduzida.
  • Interpretar os resultados para encontrar as soluções das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações.
Dado o sistema:
x1 + 2x2 + x3 = 0 3x1 + 6x2 + 3x3 + x4 = 0 2x1 + 4x2 + 2x3 + x4 = 0
A matriz aumentada fica assim:
1 & 2 & 1 & 0 & | & 0 3 & 6 & 3 & 1 & | & 0 2 & 4 & 2 & 1 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos transformar essa matriz para a forma escalonada reduzida. O primeiro passo é zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é o primeiro elemento da primeira linha, no caso, o 1 da posição (1,1)).
Para isso:
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha.
Vamos fazer isso:
Nova Linha 2:
3 - 3(1) = 0 6 - 3(2) = 0 3 - 3(1) = 0 1 - 3(0) = 1
Então, a segunda linha fica: 0 0 0 1 | 0
Nova Linha 3:
2 - 2(1) = 0 4 - 2(2) = 0 2 - 2(1) = 0 1 - 2(0) = 1
Então, a terceira linha fica: 0 0 0 1 | 0
A matriz agora é:
1 & 2 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0

Passo 4

Observamos que a segunda e a terceira linhas estão iguais:
0 0 0 1 | 0
Isso significa que temos dependência linear nas equações, ou seja, uma das equações não traz informação nova.
Para simplificar, vamos remover a terceira linha, já que ela não adiciona nada de novo:
1 & 2 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos identificar as variáveis principais e as variáveis livres.
  • Variáveis principais: São aquelas que correspondem aos pivôs (os primeiros 1s em cada linha). Neste caso, x1 e x4.
  • Variáveis livres: São aquelas que não têm pivô, ou seja, podem assumir qualquer valor. Aqui, x2 e x3 são livres.
Expressando as equações:
  1. Da primeira linha:
x1 + 2x2 + x3 = 0 implies x1 = -2x2 - x3
  1. Da segunda linha:
x4 = 0

Passo 6

Como x2 e x3 são variáveis livres, elas podem assumir quaisquer valores reais. Vamos chamá-las de parâmetros:
x2 = s x3 = t
Onde s e t são números reais quaisquer.
Agora, substituindo esses parâmetros nas expressões que encontramos:
x1 = -2s - t x4 = 0

Resposta

As soluções do sistema são todas as combinações possíveis para x2 e x3. Ou seja,
x1 = -2s - t x2 = s x3 = t x4 = 0
Onde s e t são números reais quaisquer.

Exercícios relacionados