Em cada um dos itens abaixo encontre os valores de para os quais o problema de valor de contorno tenha soluções não triviais e exiba essas soluções.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de equações diferenciais onde precisamos encontrar os valores de que fazem com que a equação tenha soluções não triviais (ou seja, soluções diferentes de zero). As condições de contorno dadas são e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e analisar diferentes casos para .

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caso em que . Substituindo na equação, temos:
Integrando uma vez, obtemos:
Integrando de novo:
Agora, aplicamos as condições de contorno:
  1. ⇒ Já sabemos que
Então, a solução geral é:
Essa é uma solução não trivial se . Portanto, é um valor válido.

Passo 3

Agora, vamos considerar o caso em que . Podemos escrever , onde . A equação fica:
A solução geral dessa equação é:
Derivando:
Aplicando as condições de contorno:
Para ter uma solução não trivial ( ), precisamos que , ou seja, , onde é um inteiro positivo. Então:
Portanto, os valores de são:
E as soluções correspondentes são:

Passo 4

Por fim, vamos considerar o caso em que . Podemos escrever , onde . A equação fica:
A solução geral dessa equação é:
Derivando:
Aplicando as condições de contorno:
Para ter uma solução não trivial ( ), precisaríamos que , o que só acontece se . Mas isso contraria a nossa suposição de que . Portanto, não existem soluções não triviais para .

Resposta

Os valores de que permitem soluções não triviais são e para . As soluções correspondentes são:
  • Para :
  • Para :

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c)