Em cada um dos itens abaixo encontre os valores de
para os quais o problema de valor de contorno tenha soluções não triviais e exiba essas soluções.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de equações diferenciais onde precisamos encontrar os valores de
que fazem com que a equação
tenha soluções não triviais (ou seja, soluções diferentes de zero). As condições de contorno dadas são
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e analisar diferentes casos para
.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caso em que
. Substituindo na equação, temos:
Integrando uma vez, obtemos:
Integrando de novo:
Agora, aplicamos as condições de contorno:
-
⇒ -
⇒ Já sabemos que
Então, a solução geral é:
Essa é uma solução não trivial se
. Portanto,
é um valor válido.
Passo 3
Agora, vamos considerar o caso em que
. Podemos escrever
, onde
. A equação fica:
A solução geral dessa equação é:
Derivando:
Aplicando as condições de contorno:
-
⇒ -
Para ter uma solução não trivial (
), precisamos que
, ou seja,
, onde
é um inteiro positivo. Então:
Portanto, os valores de
são:
E as soluções correspondentes são:
Passo 4
Por fim, vamos considerar o caso em que
. Podemos escrever
, onde
. A equação fica:
A solução geral dessa equação é:
Derivando:
Aplicando as condições de contorno:
-
⇒ -
Para ter uma solução não trivial (
), precisaríamos que
, o que só acontece se
. Mas isso contraria a nossa suposição de que
. Portanto, não existem soluções não triviais para
.
Resposta
Os valores de
que permitem soluções não triviais são
e
para
. As soluções correspondentes são:
-
Para
: -
Para
:
Exercícios relacionados
- (2 pontos) Calcule
. onde é a regiâo no semiplano superior limitada pelas circunferèncias e .
Esboçar a região de integração e calcular as seguintes integrais iteradas.
Calcule
onde
é a região delimitada por
e
.
Calcule a integral trocando a ordem de integração.
c)
c)