Calcule integral duplaB(x^2+y^2) d x d y onde B é a região delimitada por y=raizx, x=4 e y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região está limitada pelas curvas , e . Esse tipo de problema está ligado ao cálculo integral, mais especificamente na parte de integrais duplas que ajudam a calcular áreas e volumes sobre regiões específicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração e aplicar as fórmulas de integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. As curvas que delimitam são:
  • : Essa é uma parábola que abre para a direita.
  • : Uma linha vertical que corta o eixo no ponto 4.
  • : O eixo .
Vamos desenhar essa região para visualizar melhor. Quando , podemos reescrever isso como . Assim, a região está iluminada entre e , e de até .

Passo 3

Agora que entendemos a região, vamos configurar a integral dupla. Existem duas maneiras de integrar: primeiro em integral0^2 integraly^2^4 (x^2 + y^2) dx dy e depois em , ou vice-versa. Vamos optar por integrar primeiro em e depois em .
Os limites de integração para vão de até , já que varia entre essas duas curvas para cada valor de . Para , ele varia de 0 até 2.
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integraly^2^4 (x^2 + y^2) dx . A gente tem:
integral (x^2 + y^2) dx = integral x^2 dx + integral y^2 dx = x^33 + y^2x
Como [4^33 + y^2 cdot 4] - [(y^2)^33 + y^2 cdot y^2] = (643 + 4y^2) - (y^63 + y^4) é constante em relação a 643 + 4y^2 - y^63 - y^4 , podemos integrar termo a termo:
Agora, vamos avaliar essa expressão de até :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^2 (643 + 4y^2 - y^63 - y^4) dy de 0 a 2:
integral 643 dy = 643 y
Vamos integrar termo a termo novamente:
integral 4y^2 dy = 4y^33
integral -y^63 dy = -y^721
integral -y^4 dy = -y^55
643 y + 4y^33 - y^721 - y^55
Juntando tudo:
643 cdot 2 + 4 cdot 2^33 - 2^721 - 2^55 = 1283 + 323 - 12821 - 325
Avaliado de 1283 = 4480105, 323 = 1120105, 12821 = 640105, 325 = 672105 a 4480105 + 1120105 - 640105 - 672105 = 4480 + 1120 - 640 - 672105 = 4328105 :
Para :
Vamos transformar todas as frações para um denominador comum, que é 105:
Substituindo:

Resposta

A integral dupla vale , ou aproximadamente .

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