Calcule
onde
é a região delimitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
está limitada pelas curvas
,
e
. Esse tipo de problema está ligado ao cálculo integral, mais especificamente na parte de integrais duplas que ajudam a calcular áreas e volumes sobre regiões específicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração e aplicar as fórmulas de integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
que estamos integrando. As curvas que delimitam
são:
-
: Essa é uma parábola que abre para a direita. -
: Uma linha vertical que corta o eixo no ponto 4. -
: O eixo .
Vamos desenhar essa região para visualizar melhor. Quando
, podemos reescrever isso como
. Assim, a região
está iluminada entre
e
, e de
até
.
Passo 3
Agora que entendemos a região, vamos configurar a integral dupla. Existem duas maneiras de integrar: primeiro em
e depois em
, ou vice-versa. Vamos optar por integrar primeiro em
e depois em
.
Os limites de integração para
vão de
até
, já que
varia entre essas duas curvas para cada valor de
. Para
, ele varia de 0 até 2.
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
. A gente tem:
Como
é constante em relação a
, podemos integrar termo a termo:
Agora, vamos avaliar essa expressão de
até
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a 2:
Vamos integrar termo a termo novamente:
Juntando tudo:
Avaliado de
a
:
Para
:
Vamos transformar todas as frações para um denominador comum, que é 105:
Substituindo:
Resposta
A integral dupla
vale
, ou aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo encontre os valores de
para os quais o problema de valor de contorno tenha soluções não triviais e exiba essas soluções.
- (2 pontos) Calcule
. onde é a regiâo no semiplano superior limitada pelas circunferèncias e .
Calcule a integral trocando a ordem de integração.
c)
c)
Calcular
onde
é a região delimitada por
.