Calcule onde é a região delimitada por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região está limitada pelas curvas , e . Esse tipo de problema está ligado ao cálculo integral, mais especificamente na parte de integrais duplas que ajudam a calcular áreas e volumes sobre regiões específicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração e aplicar as fórmulas de integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. As curvas que delimitam são:
  • : Essa é uma parábola que abre para a direita.
  • : Uma linha vertical que corta o eixo no ponto 4.
  • : O eixo .
Vamos desenhar essa região para visualizar melhor. Quando , podemos reescrever isso como . Assim, a região está iluminada entre e , e de até .

Passo 3

Agora que entendemos a região, vamos configurar a integral dupla. Existem duas maneiras de integrar: primeiro em e depois em , ou vice-versa. Vamos optar por integrar primeiro em e depois em .
Os limites de integração para vão de até , já que varia entre essas duas curvas para cada valor de . Para , ele varia de 0 até 2.
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . A gente tem:
Como é constante em relação a , podemos integrar termo a termo:
Agora, vamos avaliar essa expressão de até :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 a 2:
Vamos integrar termo a termo novamente:
Juntando tudo:
Avaliado de a :
Para :
Vamos transformar todas as frações para um denominador comum, que é 105:
Substituindo:

Resposta

A integral dupla vale , ou aproximadamente .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo encontre os valores de para os quais o problema de valor de contorno tenha soluções não triviais e exiba essas soluções.
  1. (2 pontos) Calcule . onde é a regiâo no semiplano superior limitada pelas circunferèncias e .
Calcule a integral trocando a ordem de integração.
c)
Calcular onde é a região delimitada por .