1. (2 pontos) Calcule . onde é a regiâo no semiplano superior limitada pelas circunferèncias e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla . A região é a parte do semiplano superior (onde ) limitada pelas circunferências e . Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a integração nessa região circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . As circunferências e têm raios 1 e 2, respectivamente. Como estamos no semiplano superior, . Portanto, é uma faixa de anel entre e , acima do eixo .

Passo 3

Em coordenadas polares, fazemos as substituições:
E o elemento de área se transforma em . Nosso próximo passo é reescrever a função integranda e os limites da integral em coordenadas polares.

Passo 4

Substituindo e na função integranda:
Agora, estabelecemos os limites para e . Como varia de 1 a 2 e varia de a (semiplano superior).

Passo 5

Montamos a integral em coordenadas polares:
Simplificando a expressão:

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:
Para o termo :
Para o termo :

Passo 7

Agora, a integral se reduz a:
Vamos separar em duas integrais:

Passo 8

Calculando cada integral:
Para :
Para , usamos a identidade :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Esboçar a região de integração e calcular as seguintes integrais iteradas.
Calcule a integral dupla. , onde
Em cada um dos itens abaixo encontre os valores de para os quais o problema de valor de contorno tenha soluções não triviais e exiba essas soluções.
Calcule onde é a região delimitada por e .