- (2 pontos) Calcule
. onde
é a regiâo no semiplano superior limitada pelas circunferèncias
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
. A região
é a parte do semiplano superior (onde
) limitada pelas circunferências
e
. Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a integração nessa região circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. As circunferências
e
têm raios 1 e 2, respectivamente. Como estamos no semiplano superior,
. Portanto,
é uma faixa de anel entre
e
, acima do eixo
.
Passo 3
Em coordenadas polares, fazemos as substituições:
E o elemento de área
se transforma em
. Nosso próximo passo é reescrever a função integranda e os limites da integral em coordenadas polares.
Passo 4
Substituindo
e
na função integranda:
Agora, estabelecemos os limites para
e
. Como
varia de 1 a 2 e
varia de
a
(semiplano superior).
Passo 5
Montamos a integral em coordenadas polares:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Para o termo :
Para o termo
Para o termo
:
Passo 7
Agora, a integral se reduz a:
Vamos separar em duas integrais:
Passo 8
Calculando cada integral:
Para :
Para
Para
, usamos a identidade
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Esboçar a região de integração e calcular as seguintes integrais iteradas.
Calcule a integral dupla.
, onde
Em cada um dos itens abaixo encontre os valores de
para os quais o problema de valor de contorno tenha soluções não triviais e exiba essas soluções.
Calcule
onde
é a região delimitada por
e
.