1. (2 pontos) Calcule integral duplaD(3 x+4 y^2) d x d y. onde D é a regiâo no semiplano superior limitada pelas circunferèncias x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaD(3 x + 4 y^2) dx dy. A região D é a parte do semiplano superior (onde y >= 0) limitada pelas circunferências x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4. Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a integração nessa região circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. As circunferências x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4 têm raios 1 e 2, respectivamente. Como estamos no semiplano superior, y >= 0. Portanto, D é uma faixa de anel entre r = 1 e r = 2, acima do eixo x.

Passo 3

Em coordenadas polares, fazemos as substituições:
x = r costheta y = r sintheta
E o elemento de área dx dy se transforma em r dr dtheta. Nosso próximo passo é reescrever a função integranda e os limites da integral em coordenadas polares.

Passo 4

Substituindo x e y na função integranda:
3x + 4y^2 = 3rcostheta + 4(rsintheta)^2 = 3rcostheta + 4r^2sin^2theta
Agora, estabelecemos os limites para r e theta. Como r varia de 1 a 2 e theta varia de 0 a pi (semiplano superior).

Passo 5

Montamos a integral em coordenadas polares:
integral0^pi integral1^2 (3rcostheta + 4r^2sin^2theta) r dr dtheta
Simplificando a expressão:
integral0^pi integral1^2 (3r^2costheta + 4r^3sin^2theta) dr dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a r primeiro:
Para o termo 3r^2costheta:
integral1^2 3r^2costheta dr = 3costheta [r^33]1^2 = costheta (8 - 1) = 7costheta
Para o termo 4r^3sin^2theta:
integral1^2 4r^3sin^2theta dr = 4sin^2theta [r^44]1^2 = sin^2theta (16 - 1) = 15sin^2theta

Passo 7

Agora, a integral se reduz a:
integral0^pi (7costheta + 15sin^2theta) dtheta
Vamos separar em duas integrais:
7integral0^pi costheta dtheta + 15integral0^pi sin^2theta dtheta

Passo 8

Calculando cada integral:
Para 7integral0^pi costheta dtheta:
7 [sintheta]0^pi = 7 (0 - 0) = 0
Para 15integral0^pi sin^2theta dtheta, usamos a identidade sin^2theta = 1 - cos(2theta)2:
15 integral0^pi 1 - cos(2theta)2 dtheta = 152 [ integral0^pi 1 dtheta - integral0^pi cos(2theta) dtheta ]
= 152 [ pi - 0 ] = 15pi2

Resposta

O valor da integral é 15pi2.

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