Calcule a integral trocando a ordem de integração.
c) integral0^8 integralraiz[3]y^2 e^x^4 d x d y

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Envolvido
Você nos pediu para calcular a integral dupla:
integral0^8 integralraiz[3]y^2 e^x^4 , dx , dy
Esse exercício envolve integrais duplas e mudança da ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e calcular a nova integral resultante.

Passo 2

Entendendo a Região de Integração
Primeiro, vamos visualizar a região em que estaremos integrando. No sistema de coordenadas :
  • varia de 0 a 8.
  • Para cada , varia de (ou ) até 2.
Isso significa que a região de integração está delimitada pela curva e pela linha vertical .

Passo 3

Desenhando a Região e Determinando Novos Limites
Ao desenhar a região:
  1. Curva : Passa pela origem e cresce rapidamente.
  2. Linha : Uma linha vertical que corta o eixo em (já que ).
Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar em termos de :
  • Agora, varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 até .

Passo 4

Reescrevendo a Integral com a Ordem Invertida
Com os novos limites, a integral se torna:
integral0^2 integral0^x^3 e^x^4 , dy , dx

Passo 5

Resolvendo a Integral Passo a Passo
Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^x^3 e^x^4 , dy
Como e^x^4 cdot y gr|0^x^3 = e^x^4 cdot x^3 é constante em relação a integral0^2 e^x^4 cdot x^3 , dx , a integral interna simplifica para:
integral e^u cdot du4 = 14 integral e^u , du = 14 e^u + C
Agora, a integral externa fica:
14 e^x^4 gr|0^2 = 14 ( e^16 - e^0 ) = e^16 - 14
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples:
  • Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Voltando para :

Resposta

e^16 - 14

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