Calcule a integral trocando a ordem de integração.
c)
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Envolvido
Você nos pediu para calcular a integral dupla:
Esse exercício envolve integrais duplas e mudança da ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e calcular a nova integral resultante.
Passo 2
Entendendo a Região de Integração
Primeiro, vamos visualizar a região em que estaremos integrando. No sistema de coordenadas :
varia de 0 a 8.
Para cada , varia de (ou ) até 2.
Isso significa que a região de integração está delimitada pela curva e pela linha vertical .
Passo 3
Desenhando a Região e Determinando Novos Limites
Ao desenhar a região:
Curva : Passa pela origem e cresce rapidamente.
Linha : Uma linha vertical que corta o eixo em (já que ).
Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar em termos de :
Agora, varia de 0 a 2.
Para cada , varia de 0 até .
Passo 4
Reescrevendo a Integral com a Ordem Invertida
Com os novos limites, a integral se torna:
Passo 5
Resolvendo a Integral Passo a Passo
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Como é constante em relação a , a integral interna simplifica para:
Agora, a integral externa fica:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples: