Calcule a integral trocando a ordem de integração.
c)

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Envolvido
Você nos pediu para calcular a integral dupla:
Esse exercício envolve integrais duplas e mudança da ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e calcular a nova integral resultante.

Passo 2

Entendendo a Região de Integração
Primeiro, vamos visualizar a região em que estaremos integrando. No sistema de coordenadas :
  • varia de 0 a 8.
  • Para cada , varia de (ou ) até 2.
Isso significa que a região de integração está delimitada pela curva e pela linha vertical .

Passo 3

Desenhando a Região e Determinando Novos Limites
Ao desenhar a região:
  1. Curva : Passa pela origem e cresce rapidamente.
  2. Linha : Uma linha vertical que corta o eixo em (já que ).
Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar em termos de :
  • Agora, varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 até .

Passo 4

Reescrevendo a Integral com a Ordem Invertida
Com os novos limites, a integral se torna:

Passo 5

Resolvendo a Integral Passo a Passo
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Como é constante em relação a , a integral interna simplifica para:
Agora, a integral externa fica:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples:
  • Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Voltando para :

Resposta

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