Esboçar a região de integração e calcular as seguintes integrais iteradas. integral1^e integral0^ln x 1e-e^y d y d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
integral1^e integral0^ln x 1e - e^y , dy , dx
Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas, especificamente sobre a região de integração no plano . Para resolver, precisamos esboçar a região de integração e então calcular a integral iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. As integrais estão limitadas por:
  • varia de a
  • varia de a
Isso significa que para cada entre e , varia de até o logaritmo natural de . No plano , a curva é uma função crescente. Então, a região de integração está abaixo dessa curva, entre e , e acima de .

Passo 3

Vamos tentar calcular a integral interna em relação a integral0^ln x 1e - e^y , dy :
e - e^y = e(1 - e^y-1)
Para integrar essa expressão, vamos simplificar o denominador:
1e integral0^ln x 11 - e^y-1 , dy
Então, a integral fica:

Passo 4

Essa integral ainda está complicada, então vamos trocar a ordem de integração, o que pode simplificar os cálculos. Originalmente, a integral é:
integralx=1^e integraly=0^ln x 1e - e^y , dy , dx
Ao trocar a ordem, vamos determinar os novos limites. Observando a região, integraly=0^1 integralx=e^y^e 1e - e^y , dx , dy varia de a (já que ), e para cada , varia de a .
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral interna em relação a integralx=e^y^e 1e - e^y , dx = 1e - e^y integralx=e^y^e dx = 1e - e^y (e - e^y) = 1 :
integraly=0^1 1 , dy
Isso simplifica muito a integral dupla! Agora, temos:

Passo 6

Essa integral é simples de resolver:
integral0^1 1 , dy = y |0^1 = 1 - 0 = 1

Resposta

O valor da integral é .

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