Esboçar a região de integração e calcular as seguintes integrais iteradas.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
Esse exercício envolve cálculo de integrais duplas, especificamente sobre a região de integração no plano . Para resolver, precisamos esboçar a região de integração e então calcular a integral iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. As integrais estão limitadas por:
  • varia de a
  • varia de a
Isso significa que para cada entre e , varia de até o logaritmo natural de . No plano , a curva é uma função crescente. Então, a região de integração está abaixo dessa curva, entre e , e acima de .

Passo 3

Vamos tentar calcular a integral interna em relação a :
Para integrar essa expressão, vamos simplificar o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 4

Essa integral ainda está complicada, então vamos trocar a ordem de integração, o que pode simplificar os cálculos. Originalmente, a integral é:
Ao trocar a ordem, vamos determinar os novos limites. Observando a região, varia de a (já que ), e para cada , varia de a .
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral interna em relação a :
Isso simplifica muito a integral dupla! Agora, temos:

Passo 6

Essa integral é simples de resolver:

Resposta

O valor da integral é .

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