Em cada um dos itens abaixo esboce a região R e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno da reta indicada.
c) R é a região limitada pelas retas x=0, x=2 e y = 0, e pela curva y = x^2 + 2. Rotacione R em torno do eixo x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma região limitada pelas retas , , e pela curva . O objetivo é calcular o volume do sólido que resulta da rotação dessa região em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Vamos visualizar a região . Ela está entre e no eixo , e de até no eixo . Isso significa que, para cada valor de entre 0 e 2, varia de 0 até .

Passo 3

Para encontrar o volume do sólido de revolução ao girar em torno do eixo , usamos o método dos discos. A fórmula geral desse método é:
Onde:
  • é o volume.
  • é a função que representa a distância do ponto à reta de rotação (neste caso, ao eixo ).
  • e são os limites de integração (0 e 2, respectivamente).
Aqui, .

Passo 4

Vamos configurar a integral para calcular o volume:
Primeiro, expandimos o termo :
Agora, substituímos na integral:
Vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos de 0 a 2:
Para :
Para :
Calculando os valores:
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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