Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
c)
é a região limitada pelas retas
e
, e pela curva
. Rotacione
em torno do eixo
.
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma região
limitada pelas retas
,
,
e pela curva
. O objetivo é calcular o volume do sólido que resulta da rotação dessa região em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Vamos visualizar a região
. Ela está entre
e
no eixo
, e de
até
no eixo
. Isso significa que, para cada valor de
entre 0 e 2,
varia de 0 até
.
Passo 3
Para encontrar o volume do sólido de revolução ao girar
em torno do eixo
, usamos o método dos discos. A fórmula geral desse método é:
Onde:
-
é o volume. -
é a função que representa a distância do ponto à reta de rotação (neste caso, ao eixo ). -
e são os limites de integração (0 e 2, respectivamente).
Aqui,
.
Passo 4
Vamos configurar a integral para calcular o volume:
Primeiro, expandimos o termo
:
Agora, substituímos na integral:
Vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos de 0 a 2:
Para
:
Para
:
Calculando os valores:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
h) e
. Rotacione
em torno do eixo
.
h)
Seja
a região em
limitada pelos planos
e
. Calcule
(Resp.:
)
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
d) . Rotacione
em torno do eixo
.
d)
Calcule, se existir, o valor do limite:
.