Seja a região em limitada pelos planos e . Calcule
(Resp.: )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região no espaço tridimensional limitada pelos planos , , , e . O que a gente precisa fazer é calcular a integral tripla de sobre essa região. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais múltiplas, especialmente integrando em coordenadas cartesianas. Vamos precisar determinar os limites de integração para , e que definem a região .

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar mentalmente ou no papel a região limitada pelos planos dados. Vemos que varia de 0 a algum valor, varia entre e 1, e varia entre 0 e . Assim, podemos definir os limites de integração:

Passo 3

Com os limites definidos, a integral tripla fica organizada da seguinte forma:
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando primeiro em , depois em e finalmente em .

Passo 4

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral e integramos em relação a :

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:
Agora, integramos isso em relação a de 0 a 1:
Resolvendo cada parte:
Simplificando ainda mais:

Resposta

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Calcule a integral tripla onde é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera e os cones e
Determine a região de integração , esboce-a no plano e troque a ordem de integração da integral iterada .
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
h) e . Rotacione em torno do eixo .
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
c) é a região limitada pelas retas e , e pela curva . Rotacione em torno do eixo .