Seja
a região em
limitada pelos planos
e
. Calcule
(Resp.:
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região
no espaço tridimensional limitada pelos planos
,
,
,
e
. O que a gente precisa fazer é calcular a integral tripla de
sobre essa região. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais múltiplas, especialmente integrando em coordenadas cartesianas. Vamos precisar determinar os limites de integração para
,
e
que definem a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar mentalmente ou no papel a região limitada pelos planos dados. Vemos que
varia de 0 a algum valor,
varia entre
e 1, e
varia entre 0 e
. Assim, podemos definir os limites de integração:
Passo 3
Com os limites definidos, a integral tripla fica organizada da seguinte forma:
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando primeiro em
, depois em
e finalmente em
.
Passo 4
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado na integral e integramos em relação a
:
Passo 6
Simplificando a expressão, temos:
Agora, integramos isso em relação a
de 0 a 1:
Resolvendo cada parte:
Simplificando ainda mais: