Seja A a região em R^3 limitada pelos planos y=1, y=-x, x=0, z=0 e z=-x. Calcule
integral triplaA e^x+y+z d V
(Resp.: 3-e )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região no espaço tridimensional limitada pelos planos , , , e . O que a gente precisa fazer é calcular a integral tripla de sobre essa região. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais múltiplas, especialmente integrando em coordenadas cartesianas. Vamos precisar determinar os limites de integração para , e que definem a região .

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar mentalmente ou no papel a região limitada pelos planos dados. Vemos que 0 <= x <= 1 -x <= y <= 1 0 <= z <= -x varia de 0 a algum valor, varia entre e 1, e varia entre 0 e . Assim, podemos definir os limites de integração:

Passo 3

Com os limites definidos, a integral tripla fica organizada da seguinte forma:
integral triplaA e^x+y+z , dV = integral0^1 integral-x^1 integral0^-x e^x+y+z , dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando primeiro em , depois em e finalmente em .

Passo 4

Primeiro, integramos em relação a integral0^-x e^x+y+z , dz = e^x+y integral0^-x e^z , dz = e^x+y [ e^z ]0^-x = e^x+y ( e^-x - 1 ) :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral e integramos em relação a integral-x^1 e^x+y (e^-x - 1) , dy = (e^-x - 1) e^x integral-x^1 e^y , dy = (1 - e^x) [ e^y ]-x^1 = (1 - e^x) (e^1 - e^-x) :

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:
(1 - e^x) (e - e^-x) = e - e^-x - e^x+1 + 1
Agora, integramos isso em relação a integral0^1 (e - e^-x - e^x+1 + 1) , dx = e integral0^1 dx - integral0^1 e^-x , dx - e integral0^1 e^x , dx + integral0^1 dx de 0 a 1:
e [x]0^1 - [-e^-x]0^1 - e [e^x]0^1 + [x]0^1 = e(1) - (-e^-1 + 1) - e(e^1 - 1) + 1
Resolvendo cada parte:
e + e^-1 - 1 - e^2 + e + 1 = 2e - e^2 + e^-1
Simplificando ainda mais:

Resposta

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