Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
h)
e
. Rotacione
em torno do eixo
.
h)
Passo 1
Então, a gente tem uma região
definida pelas condições
e
. A ideia aqui é girar essa região em torno do eixo
e descobrir qual será o volume desse sólido formado. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos de revolução, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos rotacionados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. No eixo
, a região vai de
até
. No eixo
, vai de
até
. Isso significa que para cada valor de
entre 1 e
,
varia de 0 até o logaritmo natural de
.
Passo 3
Como vamos girar a região em torno do eixo
, é mais conveniente expressar
em função de
. Sabemos que
, então podemos reescrever isso como
. Isso vai nos ajudar a definir o raio dos discos que vamos usar para calcular o volume.
Passo 4
O método dos discos de revolução envolve integrar a área de vários discos infinitesimais ao longo do eixo de rotação. A fórmula geral para o volume
é:
Aqui,
é o raio do disco em função de
, e
e
são os limites de integração no eixo
.
Passo 5
No nosso caso,
porque
é a distância do eixo
até a curva. Os limites de
vão de
até
, já que
.
Passo 6
Substituindo na fórmula, temos:
Passo 7
Agora, vamos integrar
. A integral de
em relação a
é
.
Passo 8
Avaliando a integral de 0 a 1:
Passo 9
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.
Exercícios relacionados
Seja
a região em
limitada pelos planos
e
. Calcule
(Resp.:
)
Calcule a integral tripla
onde
é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera
e os cones
e
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
c) é a região limitada pelas retas
e
, e pela curva
. Rotacione
em torno do eixo
.
c)
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
d) . Rotacione
em torno do eixo
.
d)