Em cada um dos itens abaixo esboce a região R e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno da reta indicada.
h) R = {(x, y) in R^2 ; 1 <= x <= e} e 0 <= y <= ln(x). Rotacione R em torno do eixo y.

Passo 1

Então, a gente tem uma região definida pelas condições e . A ideia aqui é girar essa região em torno do eixo e descobrir qual será o volume desse sólido formado. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos de revolução, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos rotacionados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . No eixo , a região vai de até . No eixo , vai de até . Isso significa que para cada valor de entre 1 e , varia de 0 até o logaritmo natural de .

Passo 3

Como vamos girar a região em torno do eixo , é mais conveniente expressar em função de . Sabemos que , então podemos reescrever isso como . Isso vai nos ajudar a definir o raio dos discos que vamos usar para calcular o volume.

Passo 4

O método dos discos de revolução envolve integrar a área de vários discos infinitesimais ao longo do eixo de rotação. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, é o raio do disco em função de , e e são os limites de integração no eixo .

Passo 5

No nosso caso, porque é a distância do eixo até a curva. Os limites de vão de até , já que .

Passo 6

Substituindo na fórmula, temos:

Passo 7

Agora, vamos integrar . A integral de em relação a é .

Passo 8

Avaliando a integral de 0 a 1:

Passo 9

Simplificando:

Resposta

O volume do sólido de revolução é .

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