Calcule, se existir, o valor do limite: lim x infty(x^4e^2 x).

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com o comportamento de funções polinomiais e exponenciais quando cresce bastante. Para resolver, vamos precisar usar a regra de L’Hospital, que ajuda quando encontramos indeterminações como .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa esse limite. Quando vai para o infinito, tanto o numerador quanto o denominador crescem sem limites. Isso parece uma indeterminação do tipo , então a gente pode aplicar a regra de L’Hospital para simplificar.

Passo 3

A regra de L’Hospital diz que se temos um limite da forma limx infty 4x^32e^2x ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas. Vamos aplicar isso:
Primeira derivada:

Passo 4

Ainda encontramos uma forma limx infty 12x^24e^2x = limx infty 3x^2e^2x , então aplicamos a regra de L’Hospital de novo:
Segunda derivada:

Passo 5

Novamente, temos limx infty 6x2e^2x = limx infty 3xe^2x . Continuamos aplicando a regra de L’Hospital:
Terceira derivada:

Passo 6

Ainda é limx infty 34e^2x = limx infty 34e^2x . Mais uma vez, aplicamos a regra:
Quarta derivada:

Passo 7

Agora, o denominador cresce exponencialmente enquanto o numerador é constante. Isso significa que o limite vai para zero, já que o denominador domina completamente.

Resposta

limx infty(x^4e^2x) = 0

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