Calcule, se existir, o valor do limite:
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular o limite quando
tende ao infinito da expressão
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com o comportamento de funções polinomiais e exponenciais quando
cresce bastante. Para resolver, vamos precisar usar a regra de L’Hospital, que ajuda quando encontramos indeterminações como
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa esse limite. Quando
vai para o infinito, tanto o numerador
quanto o denominador
crescem sem limites. Isso parece uma indeterminação do tipo
, então a gente pode aplicar a regra de L’Hospital para simplificar.
Passo 3
A regra de L’Hospital diz que se temos um limite da forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas. Vamos aplicar isso:
Primeira derivada:
Passo 4
Ainda encontramos uma forma
, então aplicamos a regra de L’Hospital de novo:
Segunda derivada:
Passo 5
Novamente, temos
. Continuamos aplicando a regra de L’Hospital:
Terceira derivada:
Passo 6
Ainda é
. Mais uma vez, aplicamos a regra:
Quarta derivada:
Passo 7
Agora, o denominador
cresce exponencialmente enquanto o numerador é constante. Isso significa que o limite vai para zero, já que o denominador domina completamente.
Resposta
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Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
d) . Rotacione
em torno do eixo
.
d)
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
c) é a região limitada pelas retas
e
, e pela curva
. Rotacione
em torno do eixo
.
c)
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
e) e
. Rotacione
em torno da reta
.
e)