Calcule, se existir, o valor do limite: .

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com o comportamento de funções polinomiais e exponenciais quando cresce bastante. Para resolver, vamos precisar usar a regra de L’Hospital, que ajuda quando encontramos indeterminações como .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa esse limite. Quando vai para o infinito, tanto o numerador quanto o denominador crescem sem limites. Isso parece uma indeterminação do tipo , então a gente pode aplicar a regra de L’Hospital para simplificar.

Passo 3

A regra de L’Hospital diz que se temos um limite da forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas. Vamos aplicar isso:
Primeira derivada:

Passo 4

Ainda encontramos uma forma , então aplicamos a regra de L’Hospital de novo:
Segunda derivada:

Passo 5

Novamente, temos . Continuamos aplicando a regra de L’Hospital:
Terceira derivada:

Passo 6

Ainda é . Mais uma vez, aplicamos a regra:
Quarta derivada:

Passo 7

Agora, o denominador cresce exponencialmente enquanto o numerador é constante. Isso significa que o limite vai para zero, já que o denominador domina completamente.

Resposta

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Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
d) . Rotacione em torno do eixo .
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
c) é a região limitada pelas retas e , e pela curva . Rotacione em torno do eixo .
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
e) e . Rotacione em torno da reta .