Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
d) . Rotacione em torno do eixo .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região definida por e . O conteúdo aqui é cálculo de volumes de sólidos de revolução, e vamos precisar usar o método dos discos para resolver. Basicamente, vamos girar essa região em torno do eixo para encontrar o volume resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . No plano , o varia de até . Para cada nesse intervalo, o varia de 0 até . Imagine uma curva que começa em e vai até , com a altura aumentando conforme .

Passo 3

Como vamos girar a região em torno do eixo , o método dos discos é apropriado. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, , e .

Passo 4

Vamos substituir na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral . Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é baseado na fórmula:
Vamos escolher e . Então, calculamos e .

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos resolver . Vamos aplicar integração por partes novamente, escolhendo e . Então, e .

Passo 7

Aplicando a integração por partes na segunda integral:
Substituindo de volta:

Passo 8

Agora, voltamos à expressão do volume:
Vamos calcular os valores nos limites de integração.

Passo 9

Primeiro, avaliaremos em :
Agora, em :
Calculando cada termo:

Passo 10

Subtraindo os valores:

Resposta

O volume do sólido de revolução é:

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Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
c) é a região limitada pelas retas e , e pela curva . Rotacione em torno do eixo .
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
h) e . Rotacione em torno do eixo .
Calcule, se existir, o valor do limite: .
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
e) e . Rotacione em torno da reta .