Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
d)
. Rotacione
em torno do eixo
.
d)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região
definida por
e
. O conteúdo aqui é cálculo de volumes de sólidos de revolução, e vamos precisar usar o método dos discos para resolver. Basicamente, vamos girar essa região em torno do eixo
para encontrar o volume resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. No plano
, o
varia de
até
. Para cada
nesse intervalo, o
varia de 0 até
. Imagine uma curva que começa em
e vai até
, com a altura
aumentando conforme
.
Passo 3
Como vamos girar a região em torno do eixo
, o método dos discos é apropriado. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui,
,
e
.
Passo 4
Vamos substituir
na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral
. Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é baseado na fórmula:
Vamos escolher
e
. Então, calculamos
e
.
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos resolver
. Vamos aplicar integração por partes novamente, escolhendo
e
. Então,
e
.
Passo 7
Aplicando a integração por partes na segunda integral:
Substituindo de volta:
Passo 8
Agora, voltamos à expressão do volume:
Vamos calcular os valores nos limites de integração.
Passo 9
Primeiro, avaliaremos em
:
Agora, em
:
Calculando cada termo:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Resposta
O volume do sólido de revolução é:
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Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
c) é a região limitada pelas retas
e
, e pela curva
. Rotacione
em torno do eixo
.
c)
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
h) e
. Rotacione
em torno do eixo
.
h)
Calcule, se existir, o valor do limite:
.
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
e) e
. Rotacione
em torno da reta
.
e)