Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
e)
e
. Rotacione
em torno da reta
.
e)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma região
no plano
definida por
e
. A missão é girar essa região em torno da reta
e calcular o volume do sólido resultante. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. No eixo
,
varia de 2 a 5. Para cada valor de
,
vai de 2 até
. Então, a região é uma área limitada horizontalmente entre
e
, e verticalmente entre
e a curva
.
Passo 3
Vamos aplicar o método dos discos. Como estamos girando em torno da reta
, que é paralela ao eixo
, usaremos a fórmula de volume por discos circulares:
Aqui,
é a distância da curva superior até a reta de rotação, e
é a distância da curva inferior até a reta de rotação.
Passo 4
Identificando
e
:
- A curva superior é
. A distância até é:
- A curva inferior é
. A distância até é:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 6
Portanto, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração por substituição, mas devido à complexidade das funções exponenciais envolvidas, provavelmente precisaremos usar métodos numéricos ou uma calculadora avançada para obter o valor aproximado.
Resposta
O volume do sólido de revolução �� aproximadamente
[valor numérico a ser calculado].
Exercícios relacionados
Calcule, se existir, o valor do limite:
.
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
d) . Rotacione
em torno do eixo
.
d)
Dada a função
, determine ou faça o que se pede:
ponto(s) de inflexão do gráfico de
.