Em cada um dos itens abaixo esboce a região R e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno da reta indicada.
e) R = {(x, y) em R^2 ; 2 <= x <= 5} e 2 <= y <= 2 x^(1/2) * e^(x^2 - 2). Rotacione R em torno da reta y = 1.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma região no plano definida por e . A missão é girar essa região em torno da reta e calcular o volume do sólido resultante. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . No eixo , varia de 2 a 5. Para cada valor de , vai de 2 até . Então, a região é uma área limitada horizontalmente entre e , e verticalmente entre e a curva .

Passo 3

Vamos aplicar o método dos discos. Como estamos girando em torno da reta , que é paralela ao eixo , usaremos a fórmula de volume por discos circulares:
Aqui, é a distância da curva superior até a reta de rotação, e é a distância da curva inferior até a reta de rotação.

Passo 4

Identificando e :
  • A curva superior é . A distância até é:
  • A curva inferior é . A distância até é:

Passo 5

Agora, substituímos e na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 6

Portanto, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração por substituição, mas devido à complexidade das funções exponenciais envolvidas, provavelmente precisaremos usar métodos numéricos ou uma calculadora avançada para obter o valor aproximado.

Resposta

O volume do sólido de revolução �� aproximadamente [valor numérico a ser calculado].

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