Dada a função
, determine ou faça o que se pede:
ponto(s) de inflexão do gráfico de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar os pontos de inflexão do gráfico dessa função. Ponto de inflexão é onde a curvatura do gráfico muda de côncava para convexa ou vice-versa. Para resolver isso, vamos usar o cálculo, especificamente a derivada segunda da função.
Passo 2
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos primeiro encontrar a segunda derivada da função
. A derivada segunda nos dá informações sobre a concavidade do gráfico. Se a segunda derivada muda de sinal em um ponto, esse ponto é um ponto de inflexão.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
:
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada de
:
Passo 5
Encontramos onde a segunda derivada é igual a zero para identificar possíveis pontos de inflexão:
Passo 6
Precisamos verificar se a concavidade muda de sinal em
. Vamos testar valores próximos a 2:
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
Como a segunda derivada muda de negativa para positiva ao passar por
, isso confirma que
é um ponto de inflexão.
Resposta
O gráfico da função
tem um ponto de inflexão em
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
e) e
. Rotacione
em torno da reta
.
e)
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
f) e
. Rotacione
em torno do eixo
.
f)
Nos itens a seguir determine se a função é homogênea e especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.