Dada a função , determine ou faça o que se pede: ponto(s) de inflexão do gráfico de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar os pontos de inflexão do gráfico dessa função. Ponto de inflexão é onde a curvatura do gráfico muda de côncava para convexa ou vice-versa. Para resolver isso, vamos usar o cálculo, especificamente a derivada segunda da função.

Passo 2

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos primeiro encontrar a segunda derivada da função . A derivada segunda nos dá informações sobre a concavidade do gráfico. Se a segunda derivada muda de sinal em um ponto, esse ponto é um ponto de inflexão.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de :

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada de :

Passo 5

Encontramos onde a segunda derivada é igual a zero para identificar possíveis pontos de inflexão:

Passo 6

Precisamos verificar se a concavidade muda de sinal em . Vamos testar valores próximos a 2:
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
Como a segunda derivada muda de negativa para positiva ao passar por , isso confirma que é um ponto de inflexão.

Resposta

O gráfico da função tem um ponto de inflexão em .

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Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
e) e . Rotacione em torno da reta .
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
f) e . Rotacione em torno do eixo .
Nos itens a seguir determine se a função é homogênea e especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.