Calcule a derivada da função f(x)=(arctg x + 4 sec x - 5 tg x)^(6).

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . Vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função interna e a função externa. No nosso caso, a função interna é e a função externa é .

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que a derivada de é . Então, precisamos encontrar a derivada da função externa em relação a e a derivada da função interna em relação a .

Passo 4

Vamos derivar a função externa . A derivada de em relação a é . Então, .

Passo 5

Agora, vamos derivar a função interna em relação a . Vamos derivar cada termo separadamente:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é , então a derivada de é .
  • A derivada de é , então a derivada de é .

Passo 6

Juntando tudo, a derivada de é:

Passo 7

Agora, aplicando a regra da cadeia:

Resposta

A derivada da função é:

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