Em cada um dos itens abaixo esboce a região R e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno da reta indicada.
o) R é a região limitada por y^2 = 16 x e y = 4 x. Rotacione R em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma região delimitada pelas curvas e . A tarefa é esboçar essa região e calcular o volume do sólido gerado quando é girado em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso vai nos dar os limites de integração. Vamos igualar as equações:
Substituindo da segunda equação na primeira:
Então, ou . Correspondendo aos valores de :
  • Para :
  • Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos usar o método dos discos para calcular o volume. A ideia é integrar a área dos discos infinitesimais ao longo do eixo .
A fórmula para o volume quando giramos em torno do eixo é:
Onde é a função de cima e a de baixo.

Passo 4

Precisamos identificar quais funções estão acima e abaixo no intervalo de 0 a 1.
  • A parábola
  • A linha reta é
Comparando e no intervalo de 0 a 1, vemos que está acima de .
Então, e .
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos calcular a integral:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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