Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
o) é a região limitada por e . Rotacione em torno do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma região delimitada pelas curvas e . A tarefa é esboçar essa região e calcular o volume do sólido gerado quando é girado em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso vai nos dar os limites de integração. Vamos igualar as equações:
Substituindo da segunda equação na primeira:
Então, ou . Correspondendo aos valores de :
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .
Passo 3
Agora, vamos usar o método dos discos para calcular o volume. A ideia é integrar a área dos discos infinitesimais ao longo do eixo .
A fórmula para o volume quando giramos em torno do eixo é:
Onde é a função de cima e a de baixo.
Passo 4
Precisamos identificar quais funções estão acima e abaixo no intervalo de 0 a 1.
A parábola dá
A linha reta é
Comparando e no intervalo de 0 a 1, vemos que está acima de .
Então, e .
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Resposta
O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.