Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOd) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, queremos encontrar todas as soluções constantes e não constantes dessa equação. Isso envolve conhecimentos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem e técnicas de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar pelas soluções constantes. Uma solução constante é aquela em que não muda com o tempo, ou seja, , onde é uma constante.

Passo 3

Se , então a derivada é igual a zero. Substituindo na equação original:

Passo 4

Agora, resolvemos para :
Isso só seria verdade para , mas queremos que a equação valha para todo . Portanto, não existe nenhuma constante que satisfaça a equação para todos os valores de .

Passo 5

Agora, vamos procurar pelas soluções não constantes. Para isso, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que nos permite reescrever a equação de forma que todas as expressões envolvendo fiquem de um lado e as envolvendo do outro.
Começamos com:
Multiplicando ambos os lados por e :

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados:
Integrando:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
onde ainda é uma constante.

Passo 8

Resolvendo para :
Podemos renomear simplesmente para para simplificar a notação.

Resposta

As únicas soluções da equação são não constantes e são dadas por:
onde é uma constante qualquer.

Exercícios relacionados

Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOa) .
Calcule a área da região limitada pela curva, em cada um dos itens abaixo.
Encontre as soluções das EDOc) .
Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
o) é a região limitada por e . Rotacione em torno do eixo .