Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOd)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui, queremos encontrar todas as soluções constantes e não constantes dessa equação. Isso envolve conhecimentos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem e técnicas de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar pelas soluções constantes. Uma solução constante é aquela em que
não muda com o tempo, ou seja,
, onde
é uma constante.
Passo 3
Se
, então a derivada
é igual a zero. Substituindo na equação original:
Passo 4
Agora, resolvemos para
:
Isso só seria verdade para
, mas queremos que a equação valha para todo
. Portanto, não existe nenhuma constante
que satisfaça a equação para todos os valores de
.
Passo 5
Agora, vamos procurar pelas soluções não constantes. Para isso, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que nos permite reescrever a equação de forma que todas as expressões envolvendo
fiquem de um lado e as envolvendo
do outro.
Começamos com:
Multiplicando ambos os lados por
e
:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados:
Integrando:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
onde
ainda é uma constante.
Passo 8
Resolvendo para
:
Podemos renomear
simplesmente para
para simplificar a notação.
Resposta
As únicas soluções da equação
são não constantes e são dadas por:
onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOa)
.
Calcule a área da região limitada pela curva, em cada um dos itens abaixo.
Encontre as soluções das EDOc)
.
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
o) é a região limitada por
e
. Rotacione
em torno do eixo
.
o)