Calcule a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas, em cada um dos itens abaixo.
cl a) rho=2-cos (theta) e rho=1+cos (theta) & b) rho=sen(theta) e rho=1-cos (theta) c) rho=cos (theta) e rho=sen(theta) & d) rho=1 e rho=2(1-cos (theta))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item a) que pede para calcular a área da interseção das regiões delimitadas pelas curvas e . Isso envolve conhecimentos de coordenadas polares e cálculo de áreas por integração. Vamos precisar encontrar onde essas curvas se cruzam e depois integrar para achar a área comum.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir os pontos onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
2 - cos(theta) = 1 + cos(theta)

Passo 3

Resolvendo a equação:
2 - cos(theta) = 1 + cos(theta) 2 - 1 = cos(theta) + cos(theta) 1 = 2cos(theta) cos(theta) = 12

Passo 4

Os valores de que satisfazem são e .

Passo 5

Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, precisamos determinar qual curva está por cima em cada intervalo para calcular a área da interseção. Observando as equações, vemos que para entre e , está acima de , e vice-versa fora desse intervalo.

Passo 6

A fórmula para a área em coordenadas polares entre duas curvas A = 12 integrala^b ( f(theta)^2 - g(theta)^2 ) dtheta e de a é:

Passo 7

Vamos calcular a área da interseção dividindo em duas partes:
  1. De a , onde está acima.
  2. De a (com ajuste de intervalo), onde está acima.

Passo 8

Calculando a primeira parte:
A1 = 12 integralpi3^5pi3 ( (2 - cos(theta))^2 - (1 + cos(theta))^2 ) dtheta
Expandindo os quadrados:
(2 - cos(theta))^2 = 4 - 4cos(theta) + cos^2(theta) (1 + cos(theta))^2 = 1 + 2cos(theta) + cos^2(theta)
Subtraindo:
4 - 4cos(theta) + cos^2(theta) - (1 + 2cos(theta) + cos^2(theta)) = 3 - 6cos(theta)
Portanto:
A1 = 12 integralpi3^5pi3 (3 - 6cos(theta)) dtheta

Passo 9

Integrando:
A1 = 12 [ 3theta - 6sin(theta) ]pi3^5pi3 = 12 [ 3(5pi3 - pi3) - 6(sin(5pi3) - sin(pi3)) ] = 12 [ 3cdot4pi3 - 6(-raiz32 - raiz32) ] = 12 [ 4pi + 6raiz3 ] = 2pi + 3raiz3

Passo 10

Como a área da interseção está completamente coberta por , não precisamos calcular . Portanto, a área da interseção é:

Resposta

A área da interseção das regiões é unidades de área.

Exercícios relacionados