Calcule a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas, em cada um dos itens abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item a) que pede para calcular a área da interseção das regiões delimitadas pelas curvas
e
. Isso envolve conhecimentos de coordenadas polares e cálculo de áreas por integração. Vamos precisar encontrar onde essas curvas se cruzam e depois integrar para achar a área comum.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir os pontos onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Passo 4
Os valores de
que satisfazem
são
e
.
Passo 5
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, precisamos determinar qual curva está por cima em cada intervalo para calcular a área da interseção. Observando as equações, vemos que para
entre
e
,
está acima de
, e vice-versa fora desse intervalo.
Passo 6
A fórmula para a área em coordenadas polares entre duas curvas
e
de
a
é:
Passo 7
Vamos calcular a área da interseção dividindo em duas partes:
- De
a , onde está acima. - De
a (com ajuste de intervalo), onde está acima.
Passo 8
Calculando a primeira parte:
Expandindo os quadrados:
Subtraindo:
Portanto:
Passo 9
Integrando:
Passo 10
Como a área da interseção está completamente coberta por
, não precisamos calcular
. Portanto, a área da interseção é:
Resposta
A área da interseção das regiões é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
o) é a região limitada por
e
. Rotacione
em torno do eixo
.
o)
Encontre as soluções das EDOc)
.
Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOe)
.
Calcule o ângulo entre os vetores
.
© e
©