Calcule a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas, em cada um dos itens abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item a) que pede para calcular a área da interseção das regiões delimitadas pelas curvas e . Isso envolve conhecimentos de coordenadas polares e cálculo de áreas por integração. Vamos precisar encontrar onde essas curvas se cruzam e depois integrar para achar a área comum.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir os pontos onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação:

Passo 4

Os valores de que satisfazem são e .

Passo 5

Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, precisamos determinar qual curva está por cima em cada intervalo para calcular a área da interseção. Observando as equações, vemos que para entre e , está acima de , e vice-versa fora desse intervalo.

Passo 6

A fórmula para a área em coordenadas polares entre duas curvas e de a é:

Passo 7

Vamos calcular a área da interseção dividindo em duas partes:
  1. De a , onde está acima.
  2. De a (com ajuste de intervalo), onde está acima.

Passo 8

Calculando a primeira parte:
Expandindo os quadrados:
Subtraindo:
Portanto:

Passo 9

Integrando:

Passo 10

Como a área da interseção está completamente coberta por , não precisamos calcular . Portanto, a área da interseção é:

Resposta

A área da interseção das regiões é unidades de área.

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
o) é a região limitada por e . Rotacione em torno do eixo .
Encontre as soluções das EDOc) .
Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOe) .
Calcule o ângulo entre os vetores .
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