Determine, caso existam, as soluções constantes e não constantes das EDOe) d y/d x = x^2 + 1.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as soluções constantes e não constantes da Equação Diferencial Ordinária (EDO) . Então, vamos usar conceitos de cálculo para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas soluções constantes. Uma solução constante é uma função y(x) que não muda, ou seja, , onde C é uma constante. Se a substituirmos na EDO, temos:

Passo 3

Essa equação, , precisa ser verdadeira para todo x. Mas, olhando bem, nunca é igual a zero porque x^2 é sempre positivo ou zero, e somando 1 sempre dá um número maior que zero. Então, não existe nenhum valor de C que satisfaça essa igualdade.

Passo 4

Como não há soluções constantes, vamos buscar as soluções não constantes. A EDO é uma equação diferencial de primeira ordem e podemos resolvê-la integrando ambos os lados em relação a x.

Passo 5

Integrando os dois lados, temos:
O lado esquerdo simplifica para y(x), e o lado direito fica:
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Então, a solução não constante da EDO é:

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