Calcule a integral tripla integral triplaD e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d V onde D é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera x^2+y^2+z^2=16 e os cones z=raiz3(x^2+y^2) e z=raizx^2+y^23 (Resp : pi12(raiz3-1)(e^64-1))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral tripla da função sobre um sólido localizado no primeiro octante. Esse sólido é limitado pela esfera e pelos cones e . Para resolver isso, vamos utilizar coordenadas esféricas, que são muito úteis para lidar com esferas e cones.

Passo 2

Vamos converter as equações dadas para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
Onde:
  • é a distância do ponto à origem.
  • é o ângulo com o eixo .
  • é o ângulo no plano .

Passo 3

A esfera z^2 = 3(x^2 + y^2) rho^2 cos^2phi = 3rho^2 sin^2phi cos^2phi = 3sin^2phi cot^2phi = 3 cotphi = raiz3 phi = 30^circ (pi6) em coordenadas esféricas fica simplesmente z^2 = x^2 + y^23 rho^2 cos^2phi = rho^2 sin^2phi3 cos^2phi = sin^2phi3 cot^2phi = 13 cotphi = 1raiz3 phi = 60^circ (pi3) .
Agora, vamos transformar os cones:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • e^(x^2+y^2+z^2)^3/2 = e^rho^3 varia de 0 a 4.
  • dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta varia de a .
  • varia de 0 a (já que estamos no primeiro octante).
A função que vamos integrar em coordenadas esféricas é:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 5

Montando a integral tripla, temos:
integral triplaD e^rho^3 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Vamos separar a integral em partes:
integral0^pi2 dtheta times integralpi6^pi3 sinphi , dphi times integral0^4 e^rho^3 rho^2 , drho

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a integral0^pi2 dtheta = pi2 :
integralpi6^pi3 sinphi , dphi = [ -cosphi ]pi6^pi3 = -cos(pi3) + cos(pi6) = -12 + raiz32 = raiz3 - 12
Em seguida, integramos em relação a :

Passo 7

Agora, a parte mais complicada é a integral em relação a integral0^4 e^rho^3 rho^2 , drho :
integral0^64 e^t3 , dt = 13 [ e^t ]0^64 = 13 ( e^64 - 1 )
Vamos fazer uma substituição:
  • Seja
  • Então, ou
A integral fica:

Resposta

Multiplicando todas as partes integradas, temos:
pi2 times raiz3 - 12 times 13 ( e^64 - 1 ) = pi12 (raiz3 - 1) ( e^64 - 1 )
Portanto, a integral tripla é igual a:
pi12 (raiz3 - 1) ( e^64 - 1 )

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