Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
f) e . Rotacione em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve volumes de sólidos de revolução. A questão pede para a gente desenhar a região definida por e , e depois calcular o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é ótimo para esses tipos de problemas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região . Vamos esboçar os gráficos das funções que definem os limites de .
Temos duas funções:
Vamos encontrar onde essas duas curvas se interceptam para saber os limites de integração. Igualando as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação , podemos rearranjá-la:
Isso nos dá as soluções , e .

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se interceptam em , e , vamos determinar qual função está acima da outra nesses intervalos.
Vamos testar um ponto entre e , por exemplo, :
Aqui, está acima de .
Entre e , por exemplo, :
Agora, está acima de .

Passo 5

Com isso, podemos configurar a integral para o volume usando o método dos discos. A fórmula geral para o volume quando se gira em torno do eixo é:
Onde é a função de cima e é a de baixo.

Passo 6

Nos intervalos que identificamos:
  • De a , e
  • De a , e
Mas para facilitar, podemos usar somente um intervalo e considerar as funções corretamente. Nesse caso, vamos integrar de a , considerando qual função está acima em cada intervalo.

Passo 7

Então, o volume será:

Passo 8

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, para de 0 a 1:
Integrando:
Segundo, para de 1 a 3:
Integrando:
Calculando em e :
Em :
Em :
Subtraindo:
Convertendo para frações com denominador comum e resolvendo, encontramos o valor.

Passo 9

Somando as duas partes:
Calculando tudo, obtemos o volume final.

Resposta

O volume do sólido de revolução gerado é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Dada a função , determine ou faça o que se pede: ponto(s) de inflexão do gráfico de .
Nos itens a seguir determine se a função é homogênea e especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.
Resolva as integrais: