Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
f)
e
. Rotacione
em torno do eixo
.
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve volumes de sólidos de revolução. A questão pede para a gente desenhar a região
definida por
e
, e depois calcular o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é ótimo para esses tipos de problemas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região
. Vamos esboçar os gráficos das funções que definem os limites de
.
Temos duas funções:
Vamos encontrar onde essas duas curvas se interceptam para saber os limites de integração. Igualando as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação
, podemos rearranjá-la:
Isso nos dá as soluções
,
e
.
Passo 4
Agora que sabemos que as curvas se interceptam em
,
e
, vamos determinar qual função está acima da outra nesses intervalos.
Vamos testar um ponto entre
e
, por exemplo,
:
Aqui,
está acima de
.
Entre
e
, por exemplo,
:
Agora,
está acima de
.
Passo 5
Com isso, podemos configurar a integral para o volume usando o método dos discos. A fórmula geral para o volume
quando se gira em torno do eixo
é:
Onde
é a função de cima e
é a de baixo.
Passo 6
Nos intervalos que identificamos:
- De
a , e - De
a , e
Mas para facilitar, podemos usar somente um intervalo e considerar as funções corretamente. Nesse caso, vamos integrar de
a
, considerando qual função está acima em cada intervalo.
Passo 7
Então, o volume
será:
Passo 8
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, para
de 0 a 1:
Integrando:
Segundo, para
de 1 a 3:
Integrando:
Calculando em
e
:
Em
:
Em
:
Subtraindo:
Convertendo para frações com denominador comum e resolvendo, encontramos o valor.
Passo 9
Somando as duas partes:
Calculando tudo, obtemos o volume final.
Resposta
O volume do sólido de revolução gerado é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Dada a função
, determine ou faça o que se pede:
ponto(s) de inflexão do gráfico de
.
Nos itens a seguir determine se a função é homogênea e especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.
Resolva as integrais: