Nos itens a seguir determine se a função é homogênea e especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a função
e precisa descobrir se ela é homogênea. Se for, também temos que dizer qual é o grau de homogeneidade. Pra isso, vamos precisar saber o que é uma função homogênea e como identificar o grau dela.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função homogênea. Uma função
é dita homogênea de grau
se, ao multiplicarmos todas as variáveis por um mesmo número
, a função resultante é igual a
vezes a função original. Em fórmula, isso fica:
Nosso objetivo é verificar se essa relação vale para a função dada e, se sim, encontrar o
.
Passo 3
Vamos aplicar a definição à nossa função. Substituímos
por
e
por
na função:
Agora, vamos simplificar cada termo.
Passo 4
Simplificando o primeiro termo:
E o segundo termo:
Agora, juntando os dois termos:
Passo 5
Observamos que os termos
e
se cancelam:
Isso mostra que:
Comparando com a definição de função homogênea, vemos que:
Pois qualquer número elevado a zero é 1.
Resposta
A função
é homogênea de grau zero.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo esboce a região
e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
em torno da reta indicada.
f) e
. Rotacione
em torno do eixo
.
f)
Dada a função
, determine ou faça o que se pede:
ponto(s) de inflexão do gráfico de
.
Resolva as integrais:
Resolva a equação dada usando uma substituição adequada.