Nos itens a seguir determine se a função é homogênea e especifique o grau de homogeneidade, quando for o caso.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa descobrir se ela é homogênea. Se for, também temos que dizer qual é o grau de homogeneidade. Pra isso, vamos precisar saber o que é uma função homogênea e como identificar o grau dela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função homogênea. Uma função é dita homogênea de grau se, ao multiplicarmos todas as variáveis por um mesmo número , a função resultante é igual a vezes a função original. Em fórmula, isso fica:
Nosso objetivo é verificar se essa relação vale para a função dada e, se sim, encontrar o .

Passo 3

Vamos aplicar a definição à nossa função. Substituímos por e por na função:
Agora, vamos simplificar cada termo.

Passo 4

Simplificando o primeiro termo:
E o segundo termo:
Agora, juntando os dois termos:

Passo 5

Observamos que os termos e se cancelam:
Isso mostra que:
Comparando com a definição de função homogênea, vemos que:
Pois qualquer número elevado a zero é 1.

Resposta

A função é homogênea de grau zero.

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo esboce a região e calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno da reta indicada.
f) e . Rotacione em torno do eixo .
Dada a função , determine ou faça o que se pede: ponto(s) de inflexão do gráfico de .
Resolva as integrais:
Resolva a equação dada usando uma substituição adequada.